Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

42 5 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN UND UNABHÄNGIGKEIT
Der Grundraum ist Ω 2 N = {(i, j)|i, j ∈ N, max(i, j) ≤ N}. Für A ⊂ Ω2 N
Da N ∈ N ist, gibt es eindeutig bestimmte Primzahlen p i und α i ∈ N mit N = p α 1
1 . . . p α k
sei P (A) =
#A
#N .
Sei A m := {(i, j)|p m teilt i und p m teilt j}∩Ω N . Dann ist #A m = ( N p m
) 2 und P (A m ) = 1 .
p 2 m
Ebenso wie im 1-dimensionalen Fall folgt: Die A 1 , . . . , A k sind unabhängig und
k∏
k∏
P (Zahlenpaar ≤ N ist teilerfremd) = P (A c 1 ∩ ... ∩ A c k) = P (A c j) = −
j=1
j=1(1 1 ).
p 2 j
Betrachten wir nun den Grenzübergang N → ∞:
k∏
lim P (Zahlenpaar ≤ N ist teilerfremd) = lim
N→∞ k→∞
Dabei folgt das Ergebnis aus dem folgenden Lemma:
5.5.3 Lemma
Für s > 1 sei ζ(s) = ∑ n≥1
n −s . Dann gilt
Insbesondere ist ζ(2) = lim
p≤N
p prim
ζ(s) = lim
N→∞
∏
N→∞ p≤N
p prim
∏
p≤N
p prim
j=1(1 − 1 p 2 j
(
1 − 1 p s ) −1
.
(1 − 1 ) −1 = ∑ n −2 = π2 .
p 2 6
n≥1
) = 6
π 2 .
Beweis:
Das folgende Produkt ist ein Produkt geometrischer Reihen.
∏
(
1 − 1 ) −1
= ∏ (
1 + 1 p s p + 1 )
s p + . . . = ∑
2s
p≤N
p prim
(α 1 ,...,α l )
1
p sα 1
1 · · · p sα l
l
Dabei sind p i die Primzahlen mit p 1 < p 2 < . . . < p l ≤ N < p l+1 . Nun gilt aber weiter,
da sich jedes n ≤ N als Produkt von Potenzen von p i angeben läßt, daß obige Summe
größer gleich ∑ ist. Andererseits ist diese Summe kleiner gleich ζ(s). Folglich gilt
n≤N
1
n s
0 ≤ ζ(s) − ∏ p≤N
p prim
(1 − 1 )
≤ ∑ p s n>N
Da für s > 1 die rechte Seite für N → ∞ gegen 0 konvergiert, folgt die Behauptung.
5.5.4 Bemerkung
Läßt sich das oben definierte P im Fall N → ∞ als Wahrscheinlichkeitsmaß auf N × N
interpretieren?
Antwort: Nein! Denn sei für A ⊂ N × N
Q(A) = lim
N→∞ P (A ∩ Ω N), so ist Q kein Wahrscheinlichkeitsmaß, da für jedes Paar
(i, j) ∈ N 2 gilt: Q({(i, j)}) = lim N→∞
1
N 2 = 0 und damit ∑ (i,j)
Q({(i, j)}) = 0 im Widerspruch
zu Q(N × N) = 1.
1
n s .
k .