Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

28 4 GLEICHVERTEILUNGEN UND KOMBINATORIK
Bemerkung: Es gilt R(m, 2) = m ebenso R(2, m) = m. Denn, entweder sind alle Kanten
von K m rot oder es gibt eine blaue Kante, also ein blaues K 2 .
Man kann zeigen: Für m, n ≥ 2 ist
( )
m + n − 2
R(m, n) ≤
,
m − 1
und insbesondere R(k, k) ≤ 2 2k−3 für k ≥ 2. Wir leiten nun eine untere Schranke für
R(k, k) her. Dazu müssen wir zeigen, daß für ein möglichst großes N < R(k, k) es keine
Färbung von K N gibt, für die ein roter oder blauer K k auftritt.
4.7.2 Satz (Erdös, P.)
R(k, k) ≥ 2 k/2 für k ≥ 2
Beweis: Wir wissen R(2, 2) = 2. Außerdem ist R(3, 3) ≥ 6, wegen der folgenden Fünfeckfärbung:
den Rand außen blau und alle Diagonalen rot. Sei k ≥ 4 und angenommen, daß
N < 2 k/2 . Wir betrachten alle rot-blau Färbungen von K N , wobei jede Kante unabhängig
mit Wahrscheinlichkeit 1 2 rot oder blau gefärbt wird. Alle Färbungen, es gibt 2 (
N2
), sind
gleichwahrscheinlich. Sei A eine Eckenmenge der Größe k. Die Wahrscheinlichkeit des Er-
(
eignisses A R , alle Kanten in A sind rot gefärbt, ist 2 − k2
). Dann ist die Wahrscheinlichkeit,
daß irgendeine k-Menge rot gefärbt ist,
⎛ ⎞
P R = P ⎝ ⋃
A R
⎠ ≤ ∑ ( ) ( N
P (A R ) = · 2 − k2
).
k
Mit N < 2 k 2
P R ≤
|A|=k
( ) N
und k ≥ 4 und wegen
k
|A|=k
≤ N k
2 k−1 für k ≥ 2 folgt
( N
k
)
2 − (
k2
)
≤ N k
2 k−1 2− (
k2
)
< 2 k2 2 − (
k2 )−k+1 = 2 − k 2 +1 ≤ 1 2 ⇒ P R < 1 2 .
Ganz entsprechend folgt, daß die Wahrscheinlichkeit P B , daß irgendeine k-Menge blau
gefärbt ist P B < 1 2
⇒ P R + P B < 1 für N < 2 k/2 .
D.h. es muß eine Färbung ohne rote oder blaue K k geben, d.h. K N hat nicht die Eigenschaft
(k, k).