Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

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12 Schließende Statistik
12.1 Einführendes Beispiel: Füllt die Brauerei zu wenig ab?
In einer Brauerei wird eine Maschine eingesetzt um Flaschen mit 0,5l Inhalt abzufüllen.
Die Maschine kann in der Abfüllmenge variiert werden. Für die abgefüllte Menge in 8
verschiedenen Flaschen werden die folgenden Werte gemessen (in Litern):
x 1 = 0,489 x 5 = 0,496
x 2 = 0,502 x 6 = 0,482
x 3 = 0,508 x 7 = 0,503
x 4 = 0,497 x 8 = 0,483
Tabelle 3: Messwerte Flaschenabfüllung
Annahme: Die Daten x 1 , ..., x 8 sind Realisierungen von Zufallsvariablen X 1 , ..., X 8 , wobei
die X i unabhängig und nach N(µ, σ 2 ) verteilt sind. µ und σ werden als unbekannt angenommen.
Es stellen sich folgende Aufgaben bzw. Fragen:
1) Schätze µ.
2) Schätze σ 2 .
3) Wie stark schwankt der Schätzer von µ?
4) Wie stark schwankt der Schätzer von σ 2 ?
5) Füllt die Brauerei zu wenig ab?
Antworten:
1) Wir wählen den Mittelwert als Schätzer für µ:
n∑
ˆµ n = 1 x
n i = x n ,
i=1
ˆµ 8 = 1 8 (0,489 + 0,502 + ... + 0,483) = 1 8 · 3,96 = 0,495 =: x 8.
2) Ein Schätzer für die Varianz σ 2 :
n∑
ˆσ n 2 = 1 (x
n−1 i − x n ) 2 ,
i=1
8∑
ˆσ 8 2 = 1 (x
7 i − x 8 ) 2 = [0,006 2 + ... + 0,008 2 + 0,012] 2 = 9, 086 · 10 −5 .
i=1
Damit ergibt sich als Schätzung für die Standardabweichung:
ˆσ 8 = √ˆσ 2 8 = 9,532 · 10 −3 ≈ 0,01.
Die Fragen 3)–5) beantworten wir weiter unten.