Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

48 6 ZUFALLSVARIABLE UND IHRE VERTEILUNG
b) Die Zufallsvariable X i ist nach P i verteilt.
c) X 1 , ..., X n sind unabhängig.
Beweis:
∑
zu (a): p(ω) =
∑ n∏
p i (ω i ) = ∑ . . . ∑ ∏ n
p i (ω i )
ω 1 ω n
ω∈Ω
(ω 1 ,...,ω n) i=1
)
i=1
( ( ∑ ∑
= p 1 (ω 1 ) . . . p n (ω n ) = 1
ω 1 ω n
)
zu (b): {X i ∈ A i } = {ω|X i (ω) ∈ A i }
= {ω|ω i ∈ A i }
= Ω 1 × . . . × Ω i−1 × A i × Ω i+1 × . . . × Ω n
P ({X i ∈ A i }) = P (Ω 1 × . . . × Ω i−1 × A i × Ω i+1 × . . . × Ω n )
= P 1 (Ω 1 ) · · · P i−1 (Ω i−1 ) · P i (A i ) · P i+1 (Ω i+1 ) · · · P n (Ω n )
= P i (A i )
zu (c):
n⋂
{X i ∈ A i } = {ω|X i (ω) ∈ A i , i = 1, . . . , n}
i=1
= {ω|ω i ∈ A i , i = 1, . . . , n}
= A 1 × A 2 × . . . × A n
n⋂
P ( {X i ∈ A i }) = P (A 1 × ... × A n )
i=1
∑
=
ω∈A 1 ×...×A n
p(ω)
∑ ∏ n
=
p i (ω i )
( ω∈A 1 ×...×A n i=1)
( )
∑
∑
= p 1 (ω 1 ) . . . p n (ω n )
ω 1 ∈A 1 ω n∈A n
= P 1 (A 1 ) . . . P n (A n )
n∏
= P ({X i ∈ A i })
i=1
6.2.5 Satz (Summe von Binomialverteilungen, Poissonverteilungen, Pascalverteilungen)
Seien X 1 und X 2 unabhängige Zufallsvariablen.
a) Sind die X i Binomial-verteilt nach b(n i , p) für i = 1, 2, dann ist X 1 + X 2 Binomialverteilt
nach b(n 1 + n 2 , p).