Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

54 7 ERWARTUNGSWERT UND VARIANZ VON VERTEILUNGEN
7.2.2 Poisson-Verteilung
P (X = k) = λk
k! e−λ = q(k)
E(X) =
∞∑
k · P (X = k)
k=0
∞∑
= k λk
k! e−λ
k=1
∞∑ λ k−1
= λ
(k − 1)! e−λ
k=1
∞∑ λ l
= λ
l! e−λ
l=0
∞∑
= λ q(l)
= λ,
da q Wahrscheinlichkeitsfunktion auf N 0 ist.
l=0
7.2.3 Geometrische Verteilung
P (X = k) = p(1 − p) k−1 für k = 1, 2, . . ..
∑
E(X) = ∞ ∑
kp(1 − p) k−1 = p ∞ k(1 − p) k−1 = p · 1 = 1.
p 2 p
k=1
k=1
∞∑
Dabei haben wir folgende Identität verwendet: kx k−1 = 1 für |x| ≤ 1.
(x−1) 2
Ein anderer Weg: Ohne Beweis sei folgender Satz angegeben: Ist X eine Zufallsvariable
∑
mit Werten in Z + , so gilt: E(X) = ∞ P (X ≥ n).
∑
E(X) = ∞ ∑
P (X ≥ n) = ∞ ∑
(1 − p) n−1 = ∞ (1 − p) m 1
= = 1.
1−(1−p) p
n=1
n=1
7.2.4 Beispiel für E(T ) = ∞
n=1
m=0
Seien X i für i = 1, 2, ... unabhängige Zufallsvariablen mit P (X i = 1) = 1 = P (X 2 i = −1).
∑
Die Gewinnsumme nach n Spielen beträgt S n = n X i .
Für den Erwartungswert der X i gilt: EX i = 1 · 1 + (−1) · 1 = 0.
2 2
∑
Der Erwartungswert der Gewinnsumme nach n Spielen ist: ES n = n
k=1
i=1
i=1
EX i = 0.
Sei T = min{n ≥ 1|S n = 1} die Anzahl der Spiele bis, die Gewinnsumme zum ersten Mal
den Wert 1 annimmt.
Fragen:
1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß man irgendwann die Gewinnsumme 1 hat?
2) Wie lang muß man im Mittel werfen, bis die Gewinnsumme 1 erreicht wird?