Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

30 5 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN UND UNABHÄNGIGKEIT
Beweis:
Zu (1):
a) P (Ω|A) = P (A∩Ω)
P (A)
= P (A)
P (A) = 1.
b) Seien B i ⊂ Ω disjunkt. Dann gilt:
⋃
P ( ∞ B i |A) =
i=1
P ([ ∞ S
B i ]∩A) P ( ∞ S
[B i ∩A])
i=1
i=1
=
=
P (A) P (A)
∞P
P (B i ∩A)
i=1
P (A)
Damit ist P (·|A) ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf P(Ω).
Sei B ⊃ A und C ⊂ A c .
Dann gilt: P (B|A) = P (A∩B)
P (A)
= P (A)
P (A)
∑
= ∞ P (B i |A).
i=1
= 1 und P (C|A) =
P (A∩C)
P (A)
= P (∅)
P (A) = 0.
Zu (3): Beweis mit Induktion. Richtig für k = 2 per Definition. Gelte die Formel für
k − 1, d.h.
so schreibe
P (A 1 ∩ . . . ∩ A k−1 ) = P (A 1 )P (A 2 |A 1 ) . . . P (A k−1 |A 1 ∩ . . . ∩ A k−2 )
P (A 1 ∩ . . . ∩ A k ) = P (A k |A 1 ∩ . . . A k−1 ) · P (A 1 ∩ . . . A k−1 )
und setze die Formel für k − 1 ein.
5.1.4 Beispiel: (Das Geburtstagsproblem)
k Personen befinden sich in einem Raum. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben mindestens
zwei von ihnen am selben Tag Geburtstag?
Wir setzen voraus
• das Jahr hat 365 Tage,
• jeder Tag kommt mit gleicher Wahrscheinlichkeit als Geburtstag in Frage,
• es besteht keine Abhängigkeit zwischen den Geburtstagen verschiedener Personen
(also keine Zwillinge!).
Der Einfachheit halber denken wir uns die Personen von 1 bis k nummeriert und stellen
uns vor, daß wir sie der Reihe nach befragen. Sei
Ω = {1, . . . , 365} k = {ω|ω = (ω 1 , . . . , ω k ); ω i ∈ {1, . . . , 365}}.
Dabei ist ω i der Geburtstag der i-ten Person.
Sei
D j = {(j + 1)-te Person hat an einem anderen Tag Geburtstag als die Personen
1 bis j}
= {ω ∈ Ω|ω j+1 ≠ ω i für 1 ≤ i ≤ j}.