Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

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4 Gleichverteilungen und Kombinatorik
4.1 Die Gleichverteilung
4.1.1 Die Gleichverteilung
Bei der Gleichverteilung betrachten wir einen endlichen Grundraum Ω und gehen davon
aus, daß alle Elementarereignisse aus Ω mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten.
(Ein Element ω ∈ Ω heißt Elementarereignis.)
Aus 1 = ∑ p(ω) = #Ω · p(ω) folgt p(ω) = 1 für alle ω ∈ Ω.
#Ω
ω∈Ω
Für A ⊂ Ω gilt: P (A) = #A
Anzahl der günstigen Fälle
. In Worten: P (A) = .
#Ω Anzahl der möglichen Fälle
Ein Gleichverteilungsproblem besteht also in der Bestimmung der Anzahl der günstigen
Fälle und der Anzahl der möglichen Fälle.
4.1.2 Einleitendes Beispiel
In einer Urne sind 5 weiße und 4 schwarze nicht nummerierte Kugeln. Es werden 3 Kugeln
gezogen. Was ist die Wahrscheinlichkeit 2 weiße und eine schwarze Kugel zu ziehen?
Die Anzahl der möglichen Fälle ist ( 9
3)
. Die Anzahl der günstigen Fälle ist
( 5
2)( 4
1)
.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also (5 2)( 4 1)
( 9 3)
= 10
21 .
4.2 Das Kombinationsprinzip
4.2.1 Das Kombinationsprinzip in Worten
Sei Ω eine Menge von n-Tupeln ω = (ω 1 , . . . , ω n ), die man als Ergebnisse eines aus n
Teilexperimenten bestehenden Zufallsexperiments auffassen kann, wobei ω i das Ergebnis
des i-ten Teilexperiments ist. Für das erste Teilexperiment gebe es k 1 mögliche Ausgänge.
Für jedes i sei k i die Zahl der möglichen Ausgänge des i-ten Teilexperimentes, unabhängig
davon wie die früheren Teilexperimente ausgegangen sind. Dann ist #Ω = k 1 . . . k n .
4.2.2 Das Kombinationsprinzip in Formeln
Seien A 1 , A 2 , . . . , A n endliche Mengen und Ω ⊂ A 1 × . . . × A n .
Sei k j ∈ N mit k 1 = |A 1 |, k j ≤ |A j | für j = 2, . . . , n.
Sei Ω j ω ′ 1 ,...,ω′ j−1
= {(ω 1 , . . . , ω j )|ω i = ω ′ i, i = 1, . . . , j − 1} für j = 2, . . . , n und
sei Ω = {(ω 1 , . . . , ω n )|ω 1 ∈ A 1 , (ω 1 , . . . , ω i ) ∈ Ω i ω 1 ,...,ω i−1
für i = 2, . . . , n}.
∏
Gilt für j = 2, . . . , n |Ω j ω 1 ,...,ω j−1
| = k j für alle (ω 1 , . . . , ω j−1 ), so folgt #Ω = n k j .
j=1