Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

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11 Wahrscheinlichkeitsmaße mit Dichten
11.1 Wahrscheinlichkeits-Dichte, Verteilungsfunktion, σ-Algebren
11.1.1 Definition (Wahrscheinlichkeits-Dichte)
∞∫
Eine Funktion f : R → [0, ∞) mit f(x)dx = 1 heißt Wahrscheinlichkeits-Dichte auf R.
−∞
11.1.2 Beispiele
a) Exponentialverteilung mit Parameter { λ > 0:
f λ (x) = λ · e −λx 1 falls x ∈ A
· 1 [0,∞) (x), 1 A (x) =
0 falls x /∈ A ,
b) Gleichverteilung auf [a, b]: f(x) = 1
b−a · 1 [a,b](x),
c) Normalverteilung N(µ, σ 2 ): f(x) = 1 √
2πσ 2 e−(x−µ)2 /2σ 2 ,
d) Gamma-Verteilung G(α, β): f(x) = βα
Γ(α) xα−1 e −βx 1 [0,∞) (x).
11.1.3 Definition (Verteilungsfunktion)
x∫
Sei f eine Wahrscheinlichkeits-Dichte auf R und F (x) := f(x)dy.
Dann heißt F Verteilungsfunktion zur Dichte f.
−∞
Eigenschaften von F
1) F (−∞) = 0, F (∞) = 1,
2) F ist monoton wachsend, d.h. x ≤ y ⇒ F (x) ≤ F (y),
3) F ist stetig.
11.1.4 Beispiele
1) F (x) = (1 − e −λx ) =
2) F (x) =
3) F (x) =
x∫
−∞
x∫
0
√1
2π
e −y2 /2 = Φ(x),
x∫
λe −λy dy für x ≥ 0,
0
β α
Γ(α) yα−1 e −βy dy für x ≥ 0.