Einführung in die Stochastik, Prof. Lerche - Abteilung für ...

56 7 ERWARTUNGSWERT UND VARIANZ VON VERTEILUNGEN
7.3.4 Bemerkungen
1) Es gilt −∞ < Kov(X, Y ) < ∞
Für a, b ∈ R gilt 2|a · b| ≤ a 2 + b 2 . Setze a = |X − EX| und b = |Y − EY |, so folgt
|(X − EX)(Y − EY )| ≤ (X − EX) 2 + (Y − EY ) 2 und damit |Kov(X, Y )| ≤ E|(X −
EX)(Y − EY )| ≤ 1 (Var(X) + Var(Y )) < ∞
2
2) Es gilt Kov(X, Y ) = E(X · Y ) − EX · EY.
Kov(X, Y ) = E ((X − EX)(Y − EY ))
= E (X · Y − XEY − Y EX + EX · EY )
= E(X · Y ) − EX · EY.
3) Sind X und Y unabhängig, so gilt E(XY ) = E(X)E(Y ) und damit Kov(X, Y ) = 0
und Kor(X, Y ) = 0. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.
Beweis:
E(XY )
= ∑ Satz 7.1.6 ∑
X(ω)Y (ω)p(ω) = x i y j P ({ω | X(ω) = x i , Y (ω) = y j })
ω∈Ω
i,j
= ∑ x i y j P ({ω | X(ω) = x i })P ({ω | Y (ω) = y j })
i,j
= ( ∑ i
x i P ({ω | X(ω) = x i }))( ∑ j
y j P ({ω | Y (ω) = y j }))
Satz 7.1.6
= E(X)E(Y )
7.3.5 Satz
∑
Seien X i , i = 1, . . . , n Zufallsvariablen für i = 1, . . . , n mit E(Xi 2 ) < ∞ und S n = n X i .
Dann gilt:
∑
(1) Var(S n ) = n Var(X i ) + ∑ Kov(X i , X j ).
i=1 i≠j
(2) Falls X 1 , X 2 , . . . , X n unabhängig sind, ist
∑
Var(S n ) = n Var(X i ).
i=1
Diese Gleichung heißt Gleichung von Bienaymé.
Beweis:
Zu (1): Sei µ k = E(X k ).
∑
(S n − E(S n )) 2 = ( n ∑
(X i − µ i )) 2 = ( n ∑
(X i − µ i ))( n (X j − µ j ))
i=1
∑
=
i=1(X n i − µ i ) 2 + ∑ (X i − µ i )(X j − µ j )
i≠j
Bildet man auf beiden Seiten den Erwartungswert, dann folgt (1).
i=1
Zu (2): Sind die X i unabhängig, so gilt Kov(X i , X j ) = 0 für i ≠ j. Daraus folgt die
Behauptung.
j=1
i=1