Apunts d’Anàlisi Real

4 Successions i sèries funcionals
⇐) Si (f n ) verifica la condició de Cauchy llavors, donat x ∈ A, (f n (x)) és una successió de
Cauchy de nombres reals i per tant convergeix a un cert nombre real f(x). Això defineix f punt
a punt en A:
f(x) = lim
n→∞ f n(x) ∀x ∈ A.
Tornant a la condició de Cauchy, donat ε > 0 existeix ν ε ∈ N tal que
∀n, m ≥ ν ε , ∀x |f n (x) − f m (x)| < ε/2
és a dir
és a dir
−ε/2 < f n (x) − f m (x) < ε/2
f m (x) − ε/2 < f n (x) < f m (x) + ε/2.
Fixat n ≥ ν ε , fem ara m → ∞:
i per tant |f n (x) − f(x)| ≤ ε/2 d’on
f(x) − ε/2 ≥ f n (x) ≤ f(x) + ε/2
∀n > ν ε , ∀x ∈ A, |f n (x) − f(x)| < ε.
□
Tal com ja hem dit, el criteri més utilitzat per a provar la convergència uniforme en casos
concrets és
lim |f n (x) − f(x)| = 0.
sup
n→∞ x∈A
Exemple: Sigui f n (x) = x n , x ∈ [0, 1]. Tenim
Llavors
f(x) =
{ 1 si x = 1,
0 si x ∈ [0, 1).
sup |x n − f(x)| = sup |x n − f(x)| = sup |x n − 0| = 1,
x∈[0,1]
x∈[0,1)
x∈[0,1)
on en el primer pas hem eliminat la contribució de x = 1, que és nul . l a i no pot canviar el
suprem. Per tant, com que
lim sup |x n − f(x)| = 1 ≠ 0,
n→∞
x∈[0,1]
la convergència no és uniforme.
Per a les sèries, l’aplicació directa d’aquest criteri es troba amb la impossibilitat, en general,
d’obtenir una expressió tancada per a s n (x) i calcular
lim sup
n∑
f
n→∞ ∣ k (x) − f(x)
∣ .
x∈A
k=1
En aquest cas haurem de cercar criteris basats directament en el terme general de la sèrie, f n (x),
i no en les sumes parcials.
Carles Batlle i Enric Fossas 2002