Apunts d’Anàlisi Real

48 La integral de Lebesgue
3.3 Mesures
Donat un espai mesurable (X, X), una mesura µ és una funció
tal que
1. µ(∅) = 0.
2. µ(E) ≥ 0, ∀E ∈ X.
µ : X :−→ ∗
⋂
3. donat (E n ) ⊂ X, si E n Em = ∅ per a n ≠ m, llavors
( ∞
)
⋃
∞∑
µ E n = µ(E n ). (3.3)
n=1
Amb motiu de la darrera propietat, es diu que µ és numerablement additiva. Com que µ
pot prendre el valor +∞, si això passa a la dreta de (3.3), vol dir que, o bé µ(E n ) = +∞ per a
algun(s) E n , o que la sèrie de termes no negatius és divergent.
Si µ no pren mai el valor +∞, direm que és una mesura finita. Si existeix (E n ) ⊂ X tal
que X = ⋃ ∞
n=1 E n i µ(E n ) < +∞ ∀n, direm que µ és una mesura σ-finita.
Exemples de mesures:
1. Sigui X ≠ ∅ i sigui X = P(X). Definim µ 1 (E) = 0 ∀E ∈ X i µ 2 (∅) = 0, µ 2 (E) = +∞ si
E ≠ ∅. Tant µ 1 com µ 2 són mesures, si bé no gaire interessants.
2. Sigui (X, X) un espai mesurable amb X ≠ ∅ i sigui p ∈ X un element fixat. Definim
{ 0 p /∈ E
µ p (E) =
1 p ∈ E.
Això és una mesura anomenada mesura unitat concentrada en p.
n=1
3. Sigui X = ¡, X = P(¡). Definim
{ card(E) si E és finit
#(E) =
+∞ si E no és finit.
Això és una mesura anomenada mesura numerable a ¡. Fixem-nos que # no és finita
però és σ-finita.
4. Sigui X = , X = B. Demostrarem més endavant que existeix una única mesura λ
definida a B que coincideix amb la longitud quan s’aplica a intervals. S’anomena mesura
de Lebesgue o mesura de Borel (hi ha, de fet, una petita diferència tècnica). No és
finita però és σ-finita.
Un espai de mesura és una tripleta (X, X, µ), on (X, X) és un espai mesurable i µ és una
mesura sobre X. Direm que una proposició és certa µ-gairebé arreu si existeix un N ∈ X
amb µ(N) = 0 tal que la proposició és certa a N. Per exemple, direm que una successió de
funcions (f n ) sobre X convergeix µ-gairebé arreu si existeix lim f n (x) per a tot x /∈ N, amb
µ(N) = 0, i escriurem
f = limf n µ-g.a.
Es presenten a continuació alguns resultats senzills.
Carles Batlle i Enric Fossas 2002