Apunts d’Anàlisi Real

4.3 Sèrie de Fourier respecte a un sistema ortonormal 81
• Si f és antisimètrica, a n = 0, n = 0, 1, 2, . . ..
• Si f és simètrica, b n = 0, n = 1, 2, . . ..
• Si f + k, amb k una constant, és antisimètrica, llavors a n = 0, n = 1, 2, . . ..
2. Com a exemple concret, sigui la funció de L 2 ((−π, π)) definida per
{ 0 x ∈ (−π, 0),
f(x) =
1 x ∈ (0, π).
Hom té
Per tant
∫ π
∫ π
a 0 = 1 f(x) dx = 1 1 dx = 1,
π −π π 0
a n = 1 ∫ π
] π f(x)cos nx dx = 1 ∫ π
1 cos nx dx = 1
−π π 0
nπ sinnx|π 0 = 0,
b n = 1 ∫ π
] π f(x)sin nx dx = 1 ∫ π
1 sinnx dx = − 1
−π π 0
nπ cos nx|π 0
= 1
{ 0 n parell,
nπ (1 − (−1)n ) =
n senar.
SFT(f)(x) = 1 2 + ∑
n senar
2
nπ
2
nπ sinnx = 1 2 + 2 π
∞∑
n=0
1
sin(2n + 1)x.
2n + 1
A la Figura 4.1 hi apareixen f i les sumes parcials dels 1, 2, 3 i 11 primers termes no nuls
de la sèrie.
3. Amb el sistema trigonomètric a L 2 ((0, L)), efectuant la mateixa redefinició de coeficients
que abans, tenim
amb
SFT(f)(x) = a 0
∞
2 + ∑
(
a n cos 2πnx
L
+ b n sin 2πnx )
,
L
a n = 2 L
b n = 2 L
∫ L
0
∫ L
0
n=1
f(x)cos 2πnx
L
f(x)sin 2πnx
L
dx, n = 0, 1, 2, . . .,
dx, n = 1, 2, . . .,
i valen els mateixos comentaris, amb les adaptacions òbvies, que per al sistema
trigonomètric a L 2 ((−π, π)).
4. El conjunt d’exponencials complexes
) (e i2πnx L
n∈
és, amb algunes modificacions degudes a la presència de complexos, un sistema ortonormal
a L 2 ([0, L]).
Carles Batlle i Enric Fossas 2002