Apunts d’Anàlisi Real

90 Sèries de Fourier
3
2
1
–2 –1 0
1 2
z
Figura 4.2: El nucli de Dirichlet per a N = 10.
Teorema 4.10 (Teorema de Dirichlet) Si f és 2π-periòdica i f ∈ PS( ), aleshores
lim
N→∞ Sf N (x) = 1 2 (f(x+ ) + f(x − )),
on f(x ± ) = lim h→±0 f(x + h) existeixen per ser f ∈ PC( ). En particular, si, a més, f és
contínua en x, lim N→∞ S f N
(x) = f(x).
Demostració. Per (4.17) tenim
i per tant, de (4.12),
S f N (x) − 1 2 (f(x+ )+f(x − )) =
Definint la funció
1
2 f(x− ) = f(x − )
1
2 f(x+ ) = f(x + )
∫ 0
−π
g(y) =
i emprant (4.15) podem escriure finalment
∫ 0
−π
∫ π
0
D N (y) dy,
D N (y) dy,
(f(x+y) −f(x − ))D N (y) dy+
{ f(x+y)−f(x − )
∫ π
y ∈ (−π, 0),
e iy −1
y ∈ (0, π),
f(x+y)−f(x + )
e iy −1
0
(f(x+y) −f(x + ))D N (y) dy.
S f N (x) − 1 2 (f(x+ ) + f(x − )) = 1 ∫ π (
g(y) e i(N+1)y − e −iNy) dy. (4.18)
2π −π
Carles Batlle i Enric Fossas 2002