Apunts d’Anàlisi Real

14 Successions i sèries funcionals
El resultat també val canviant R per −R en les sèries i considerant [−R, 0] i
Demostració:
1. Donat ε > 0 existeix ν ε ∈ tal que si q > p > ¡ ν ε es verifica que
∣ q∑ ∣∣∣∣∣ a n R n < ε.
∣
n=p+1
Llavors, per a x ∈ [0, R] i q > p > ν ε es té
∣ q∑ ∣∣∣∣∣ a n x n =
∣ ∣
Utilitzarem ara la identitat
q∑ ( ⎛
a n R n x
) n
q∑
= ⎝
R
n=p+1
n=p+1
n=p+1
n∑
k=p+1
q∑
n=p+1
( ∣
a n R n x
) ∣∣∣∣∣
n
.
R
⎞
⎛
( (
a k R k ⎠ x
) n ( ) x n+1
− + ⎝
R R)
q∑
k=p+1
lim
x→−R +.
⎞
a k R k ⎠ ( x
) q+1
,
R
que es pot verificar mirant els coeficients de x n per a n = p+1, . . .,q+1 a dreta i esquerra,
o considerant la primera igualtat de la fórmula de sumació d’Abel començant en p + 1 en
lloc de 1. Tenim així
∣
q∑
n=p+1
a n x n ∣ ∣∣∣∣∣
=
≤
≤
i queda demostrat.
∣
q∑
n=p+1
q∑
n=p+1
q∑
n=p+1
∣
∣
⎛
⎝
n∑
k=p+1
n∑
k=p+1
q∑
⎞
( (
a k R k ⎠ x
) n ( ) x n+1
−
R R)
a k R k ∣ ∣∣∣∣∣ ( ( x
R
∣ ∣∣∣∣∣ ( ( x
a k R k R
k=p+1
) p+1 ( ) x q+1
− + ε
R)
( ( x
< ε
R
( x
) p+1
= ε ≤ ε, ∀x ∈ [0, R]
R
⎛
+ ⎝
q∑
k=p+1
a k R k ⎞
⎠ ( x
R) q+1
∣ ∣∣∣∣∣
∣ ∣
) n ( ) x n+1 ( ∣∣∣∣∣ x q+1
q∑ ∣∣∣∣∣
− +
k R
R)
R)
k=p+1a k
∣
) n ( ) x n+1 ( ∣∣∣∣∣ x q+1
q∑
− +
R)
R)
( x
R) q+1
k=p+1a k R k ∣ ∣∣∣∣∣
2. Com que ∑ a n x n convergeix uniformement en [0, R], ho fa cap a una funció contínua, f(x).
Llavors
A = ∑ a n R n continuitat de f
∑
= f(R) = lim f(x) = lim an x n .
x→R− x→R −
□
Exercici: On és l’error en aquest raonament alternatiu per a demostrar el primer apartat
del lema d’Abel: ∣ ∣ ∣ ∣∣∣∣∣ q∑ ∣∣∣∣∣ a n x n q∑ ∣∣∣∣∣
≤
a n R n < ε.
∣
n=p+1
n=p+1
Carles Batlle i Enric Fossas 2002