Apunts d’Anàlisi Real

4.5 El fenomen de Gibbs 95
S’observa la presència de pics a prop de les discontinuïtats de la funció, la magnitud dels
quals no disminieix amb N, encara que s’acosten a les discontinuïtats al crèixer N. Per a cada
punt hi ha convergència puntual, però per a una N donada sempre hi ha punts a una distància
fixada del valor cap al qual tendeixen eventualment. Això és el fenomen de Gibbs.
Anem a calcular el valor del màxim (x ∗ , S N (x ∗ )) més proper a zero, i veurem que no decreix
quan aumenta N. Tenim
S ′ N(x) = 4 π
N∑
cos(2k + 1)x = 2 π
k=0
sin(2N + 2)x
.
sinx
Cal observar que S
N ′ (x) > 0 en un entorn prou petit (que disminueix amb N) de zero. Imposant
S
N ′ (x) = 0 tindrem (2N + 2)x = kπ, k ∈ ¤,
de manera que el primer màxim relatiu a la dreta del zero (és màxim per la positivitat de la
derivada en un entorn de zero) és
x ∗ π
=
2N + 2 .
Llavors
S N (x ∗ ) = 4 π
N∑
k=0
1 (2k + 1)π
sin
2k + 1 2N + 2 .
Això es pot interpretar com una suma de Riemann corresponent a la integral de la funció
sinc(x) = sin x
x
. En efecte, dividint [0, π] en N + 1 intervals
[n π π
, (n + 1)
N + 1 N + 1 ],
n = 0, . . .,N,
i escollint el punt central de cada interval per fer la suma. Efectivament
on
Per tant
S N (x ∗ ) =
4 π
= 2 π
x k =
N∑
k=0
N∑
k=0
sin (2k+1)π
2N+2
(2k+1)π
2N+2
sin (2k+1)π
2N+2
(2k+1)π
2N+2
} {{ }
sin x k
x k
(2k + 1)π
2N + 2 .
∫ π
π
2N + 2 =
π
N + 1
} {{ }
∆x k
lim S N(x ∗ ) =
2 siny
dy =
N→∞ π 0 y
( ∫ 1 π
siny
= 1 + 2 dy − 1 )
π 0 y 2
∼ 1 + 2 × 0.0895,
on hem utilitzat
∫ π
0
siny
y
dy ∼ 1.852.
Carles Batlle i Enric Fossas 2002