Apunts d’Anàlisi Real

3.2 Funcions mesurables 45
Corol . lari 3.3 f és X-mesurable sii f + i f − ho són.
Tal com ja hem anunciat, és convenient treballar amb la recta real estesa per tal de considerar
la mesura de conjunts no fitats. També és convenient, però, per no excloure funcions que prenen
valor infinit. Anem per tant a definir la mesurabilitat per a funcions que prenen valors a ∗ .
Direm que f : X → R ∗ és X-mesurable si {x ∈ X ; f(x) > α} ∈ X per a tot α ∈ . El
conjunt de funcions de X en
∗ que siguin X-mesurables el denotarem per M(X, X). Fixem-nos
que
∞⋂
∞⋂
A ≡ {x ∈ X ; f(x) = +∞} = {x ∈ X ; f(x) > n} = {x ∈ X ; f(x) ≥ n},
B ≡ {x ∈ X ; f(x) = −∞} =
=
n=1
∞⋃
{x ∈ X ; f(x) > −bn}
n=1
∞⋂
{x ∈ X ; f(x) > −n} =
n=1
n=1
∞⋂
{x ∈ X ; f(x) ≤ −n} =
n=1
∞⋂
{x ∈ X ; f(x) < −n},
i per tant els conjunts on f pren valors infinit són de X si f ∈ M(X, X).
El següent lema permet testejar la mesurabilitat de les funcions reals esteses.
Lema 3.4 Una funció f : X →
funció f 1 : X → definida per
és X-mesurable.
f 1 (x) =
n=1
∗ és X-mesurable sii els conjunts A i B són de X i si la
{ f(x) si x /∈ A ∪ B,
0 si x ∈ A ∪ B,
Demostració: Si f ∈ M(X, X) ja hem vist que A i B són de X. Sigui ara α ∈ . Si α ≥ 0,
{x ∈ X ; f 1 (x) > α} = {x ∈ X ; f(x) > α} − A = {x ∈ X ; f(x) > α} ⋂ A ∈ X,
mentre que si α < 0,
{x ∈ X ; f 1 (x) > α} = {x ∈ X ; f(x) > α} ⋃ B ∈ X.
Per tant f 1 és X-mesurable. Suposem ara que A i B són de X i que f 1 és X-mesurable. Si α ≥ 0
i si α < 0
{x ∈ X ; f(x) > α} = {x ∈ X ; f 1 (x) > α} ⋃ A ∈ X,
{x ∈ X ; f(x) > α} = {x ∈ X ; f 1 (x) > α} − B = {x ∈ X ; f 1 (x) > α} ⋂ B ∈ X,
i per tant f és X-mesurable.
□
Dels darrers resultats es dedueix que, si f ∈ M(X, X), llavors cf, f 2 , |f|, f + i f − també
són de M(X, X), amb l’únic comentari que si c = 0 llavors cf = 0, i.e. 0 · (±∞) = 0.
Si f i g són de M(X, X), llavors f + g no està ben definida per (f + g)(x) = f(x) + g(x) per
a x dels conjunts
E 1
E 2
= {x ∈ X ; f(x) = −∞, g(x) = +∞}
= {x ∈ X ; f(x) = +∞, g(x) = −∞},
els quals són elements de X. Si definim f + g = 0 en E 1 ∪ E 2 , llavors la funció resultant
és X-mesurable. Per determinar la mesurabilitat de fg per a funcions reals esteses ens cal un
resultat auxiliar:
Carles Batlle i Enric Fossas 2002