Apunts d’Anàlisi Real

2.5 Teorema de Stone-Weierstrass 37
Comentaris:
• Els polinomis satisfan les hipòtesis del teorema.
• En referència al Lema 2.17, tal com ja hem dit, els polinomis ¢[x] no formen un reticle,
però ¢[x] = C([a, b], ) sí.
• Hi ha conjunts de funcions que són reticle però no subàlgebra, com ara el conjunt de
funcions contínues lineals a trossos en [a, b]. A aquests conjunts se’ls pot aplicar el teorema
d’aproximació de Stone però no el de Stone-Weierstrass.
• Hi ha una demostració del Lema 2.17 que no es basa en el teorema d’aproximació de
Weierstrass, i per tant aquest darrer es pot llavors deduïr del de Stone-Weierstrass.
• La condició de contenir les constants es pot canviar per la de “no anul . lar-se a cap punt”.
Es diu que B ⊂ C([a, b], ) no s’anul . la a cap punt si ∀x ∈ [a, b] existeix un f ∈ B tal
que f(x) ≠ 0. Es pot veure ([Spr87], 233-234) que si B separa punts i no s’anul . la a cap
punt, llavors es verifica també la condició 2) del teorema d’aproximació de Stone, i tot
segueix endavant.
• Si les funcions de B són C k , llavors les aproximacions són també C k .
Carles Batlle i Enric Fossas 2002