Apunts d’Anàlisi Real

22 Espais de funcions contínues
El que volem fer ara és veure en quin sentit aquestes dues propietats, l’existència de parcials
convergents dins un compacte de i l’aproximació de reals per un conjunt numerable, els
racionals, es poden extendre quan es canvia per un espai molt més complicat, l’espai de les
funcions reals contínues sobre un cert conjunt A ⊂ :
C(A, ) = {f : A → , f contínua en A}.
El primer que s’ha de fer és dotar C(A, ) amb una distància, ja que els fets que hem comentat
depenen de la noció de distància entre punts de . De fet, aprofitant que C(A, ) és un espai
vectorial sobre , podem fer quelcom millor: dotar C(A, ) amb una norma, convertint-lo en
un espai normat, en lloc de simplement un espai mètric.
Volem que la norma de C(A, ) tingui bones propietats respecte a la continuïtat, és a dir, si
l’extenem a funcions qualssevol, no volem que una funció discontínua pugui estar arbitràriament
a la vora d’una funció contínua. Tenint en compte la nostra experiència amb la convergència
uniforme, definim a C(A, )
|| · || : C(A, ) →
f ↦→ sup{|f(x)|}.
x∈A
Sense més restriccions, això pot no existir: si A = (0, 1), f(x) = 1 x
, f ∈ C(A, ) però ||f|| =
sup {| 1 |} = +∞. El problema està en la no compacitat de A. Per tant a partir d’ara
x∈(0,1) x
suposarem A = K compacte i definim
|| · || : C(K, ) →
f ↦→ sup{|f(x)|}.
x∈K
Alternativament, podem considerar C b (A, ), l’espai de funcions contínues fitades sobre A, amb
A no necessàriament compacte. Per a un compacte, C b (K, ) = C(K, ).
Per veure que això és una norma, cal demostrar
(N1) No negativitat: ||f|| ≥ 0.
(N2) No degeneració: ||f|| = 0 sii f = 0.
(N3) Multiplicativitat: ||αf|| = |α|||f||, ∀α ∈ .
(N4) Desigualtat triangular: ||f + g|| ≤ ||f|| + ||g||.
Tot això és evident a partir de les propietats del suprem i del valor absolut. Per exemple
||f + g||
= sup{|f(x) + g(x)|} ≤ sup{|f(x)| + |g(x)|}
x∈K
x∈K
≤
{|g(x)|}
sup
x∈K
= ||f|| + ||g||.
{|f(x)|} + sup
x∈K
Aquestes propietats de la norma es tradueixen en propietats de la distància associada:
que són
d(f, g) = ||f − g||,
Carles Batlle i Enric Fossas 2002