Apunts d’Anàlisi Real

62 La integral de Lebesgue
En efecte, és immediat que f + + f 2 = f 1 + f − , essent les quatre funcions mesurables i no
negatives. Per tant, per la linealitat de la Secció precedent,
∫ ∫ ∫ ∫
f + + f 2 = f 1 + f − ,
i com que totes les integrals són finites,
∫ ∫ ∫
f = f + −
∫
f − =
∫
f 1 −
f 2 .
El següent resultat que veurem es coneix com la propietat d’integrabilitat absoluta de la
integral de Lebesgue. Recordem que si una integral de Riemann pròpia d’una funció existeix,
també existeix la integral del seu valor absolut, però això deixa de ser cert en conjunts no fitats.
Per exemple, com a integral de Riemann,
però
∫ +∞
0
∫ +∞
0
sinx
x dx = π 2
sin x
∣ x ∣ dx = +∞.
Aquesta situació no pot donar-se per a la integral de Lebesgue:
Teorema 3.24 Una funció mesurable f és de L si i sols si |f| és de L, i llavors
∫
∫
∣ f
∣ ≤ |f|.
Demostració. f ∈ L sii f + i f − són de M i tenen integrals finites. Com que |f| + = |f| =
f + + f − i |f| − = 0, resulta que |f| + i |f| − són de M i tenen integrals finites. Per tant si f ∈ L
llavors |f| ∈ L. Inversament, com que f + ≤ |f| + i f − ≤ |f| + , si |f| ∈ L també f ∈ L. A més
∫
∫ ∫ ∣ ∫ ∣ ∫ ∣ ∣∣∣ ∣ f
∣ =
∣ f + − f − ∣∣∣
≤
∣ f + ∣∣∣
+
∣ f −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
= f + + f − = |f| + = |f| + − |f| − = |f|.
Corol . lari 3.25 Si f és mesurable, g és integrable i |f| ≤ |g|, llavors f és integrable i
∫ ∫
|f| ≤ |g|.
Demostració. Si f és mesurable llavors |f| és mesurable, i com que |f| ≤ |g| serà
∫ ∫
|f| ≤ |g|.
Si ∫ |g| < +∞ també serà ∫ |f| < +∞ i per tant |f| ∈ L, d’on f ∈ L.
□
Anem ara a veure la linealitat (que ja hem vist per a funcions simples i per a funcions no
negatives).
□
Carles Batlle i Enric Fossas 2002