Apunts d’Anàlisi Real

78 Sèries de Fourier
5. Els polinomis d’Hermite
verifiquen
H n (x) = (−1) n x2 dn
e , n = 0, 1, 2, . . .
dx ne−x2
∫ +∞
−∞
i, definint (això ja no són polinomis)
e −x2 H n (x)H m (x) dx = δ n,m 2 n n! √ π
Ĥ n (x) = e − x2
2
tenim un sistema ortonormal a L 2 ( ).
1
2 n/2√ n! 4√ π H n(x),
A partir d’ara escriurem ||·|| en lloc de ||·|| 2 , ja que aquesta serà l’unica norma que apareixerà.
El problema bàsic de la teoria de funcions ortogonals és com aproximar el millor possible
una funció L 2 (I) mitjançant una combinació lineal (finita!) d’elements d’un sistema ortonormal.
Sigui S = (ϕ 0 , ϕ 1 , ϕ 2 , . . .) ortonormal a L 2 (I) i sigui, donat un n ∈ ¡ fixat,
t n (x) =
n∑
b k ϕ k (x).
k=0
Ens preguntem com hem d’escollir els b k de manera que la distància, en el sentit de L 2 , de f a t n
sigui el més petita possible. Veurem que hi ha una única elecció dels b k que minimitza ||f −t n ||,
però per a motivar el resultat començarem presentant un cas familiar a n .
A
n , la millor aproximació d’un vector v per vectors d’un subespai vectorial W ve donada
per la projecció ortogonal de v sobre W.
Al intentar generalitzar aquest resultat a un sistema ortonormal de L 2 (I) ens trobem amb el
problema de que no coneixem d’antuvi l’expressió “exacta” equivalent a v = v 1 e 1 + . . . + v n e n ,
on e 1 , . . .,e n és una base ortonormal de
n . Tenim, però, que la tria dels millors coeficients
segueix el mateix criteri:
Teorema 4.1 Sigui S = (ϕ 0 , ϕ 1 , ϕ 2 , . . .) ortonormal a L 2 (I) i sigui f ∈ L 2 (I). Fixat n ∈ ¡,
siguin
n∑
n∑
s n (x) = c k ϕ k (x), t n (x) = b k ϕ k (x),
on els b k són arbitraris i
k=0
k=0
c k = (f, ϕ k ), k = 0, 1, 2, . . .,n.
Llavors es té
||f − s n || ≤ ||f − t n ||,
i la igualtat es verifica sii b k = c k , k = 0, 1, . . .,n.
Demostració. Es tracta de veure que
n∑ n∑
||f − t n || 2 = ||f|| 2 − c 2 k + (b k − c k ) 2 , (4.6)
k=0 k=0
Carles Batlle i Enric Fossas 2002