Apunts d’Anàlisi Real

56 La integral de Lebesgue
i per tant
∫
(ϕ + ψ) =
=
=
=
p∑
c h µ(G h ) =
h=1
p∑ ∑
c h µ(E j ∩ F k ) =
h=1
(h)
p∑ ∑
(a j + b k )µ(E j ∩ F k ) =
h=1 (h)
n∑
j=1 k=1
m∑
a j µ(E j ∩ F k ) +
n∑
a j µ(E j ) +
j=1
n∑
j=1 k=1
m∑
∫
b k µ(F k ) =
k=1
n∑
j=1 k=1
p∑ ∑
c h µ(E j ∩ F k )
h=1 (h)
m∑
(a j + b k )µ(E j ∩ F k )
m∑
b k µ(E j ∩ F k )
∫
ϕ +
ψ,
on hem emprat
m∑
µ(E j ∩ F k ) = µ(∪ m k=1 (E j ∩ F k )) = µ(E j ∩ (∪ m k=1 F k)) = µ(E j ∩ X) = µ(E j )
k=1
i el mateix per a ∑ n
j=1 µ(E j ∩ F k ) = µ(F k ).
3. Escrivint
ϕ£ E =
n∑
j=1
a j £ Ej £ E =
tindrem, per la linealitat ja demostrada,
λ(E) =
=
∫
ϕ£ E dµ =
n∑
j=1
∫ ⎛ ⎝
a j £ Ej ∩E + 0 · £ E
,
⎞
n∑
a j £ Ej
⎠
∩E dµ
j=1
n∑
∫
a j £Ej ∩E dµ =
j=1
n∑
µ(E j ∩ E),
j=1
i és fàcil ara comprobar que això és efectivament una mesura.
□
Ara ja podem introduir la integral d’una funció qualsevol de M + (X, X).
Donat un espai de mesura (X, X, µ) i f ∈ M + (X, X), definim la integral de f respecte
de µ com
∫
∫
f dµ = sup
ϕ
ϕ dµ ∈ [0, +∞) ∪ {+∞}
on el suprem és respecte a totes les funcions simples ϕ ∈ M + (X, X) tals que
0 ≤ ϕ(x) ≤ f(x) ∀ x ∈ X.
Si E ∈ f£ X, llavors E també és de M + (X, X) i definim la integral de f respecte de µ sobre
E com
∫ ∫
f f£ dµ = E dµ.
E
Com a primera propietat, demostrarem que la integral d’una funció de M + (X, X) és
monòtona respecte a l’integrant i el conjunt d’integració.
Carles Batlle i Enric Fossas 2002