Apunts d’Anàlisi Real

16 Successions i sèries funcionals
i per tant
f(x) =
∞∑
n=0
f (n) (0)
x n , x ∈ (−R, R), (1.10)
n!
que s’anomena sèrie de Taylor de f al voltant de x = 0. Fixem-nos que la definició original de f
és a través de la sèrie ∑ a n x n i l’únic que diu (1.10) és que els a n es poden calcular d’una certa
manera. No estem dient que una funció qualsevol es pugui expressar com a sèrie de Taylor; això
ho veurem a la següent Secció.
L’expressió (1.10) demostra que els coeficients de la sèrie de potències de f en (−R, R)
queden totalment determinats pels valors de f i les seves derivades en x = 0. Tenim per tant el
següent
Teorema 1.19 Sigui f(x) = ∑ a n x n i g(x) = ∑ b n x n amb radi de convergència R > 0. Si
f = g en un obert al voltant de l’origen llavors a n = b n ∀n.
De manera més general, es pot demostrar el següent
Teorema 1.20 Sigui f(x) = ∑ a n x n i g(x) = ∑ b n x n amb radi de convergència R > 0. Sigui
E = {x ∈ (−R, R) | g(x) = f(x)} .
Llavors, si E té un punt d’acumulació, es té f(x) = g(x) ∀x ∈ (−R, R) i per tant a n = b n ∀n.
1.10 Sèries de Taylor
Hem vist que una sèrie ∑ a n x n és C ∞ a (−R, R). Ens podem ara preguntar si una funció C ∞
es pot escriure com una sèrie de potències en algun (−R, R). La resposta, per a funcions de
variable real, és negativa en general.
Exemple: Sigui
{
f(x) =
e − 1
x 2 si x ≠ 0,
0 si x = 0.
És fàcil veure que f (n) (0) = 0 ∀n. Per tant la sèrie de Taylor de f al voltant de x = 0 és
idènticament nul . la i no és igual a f(x) fora de x = 0.
El primer resultat que veurem ens diu en quines condicions podem moure el centre d’una
sèrie de potències.
Teorema 1.21 (Teorema de Taylor) Suposem que ∑ a n x n convergeix a (−R, R). Si c ∈
(−R, R) llavors
∞∑ f (n) (c)
f(x) = (x − c) n
n!
per a tot x tal que |x − c| < R − |c|.
n=0
Demostració: Sigui x ∈ (−R, R) fixat. Tenim que
f(x) =
=
∞∑
a n x n =
n=0
∞∑
n∑
a n
n=0 m=0
∞∑
a n ((x − c) + c) n
n=0
( n
m)
c n−m (x − c) m =
∞∑
n=0 m=0
∞∑
b mn (x),
Carles Batlle i Enric Fossas 2002