Apunts d’Anàlisi Real

4.3 Sèrie de Fourier respecte a un sistema ortonormal 83
Formalment, es pot obtenir la sèrie de Fourier en aquest sistema a partir de la
trigonomètrica emprant la relació d’Euler
d’on es dedueixen les expressions inverses
e iα = cos α + isinα, α ∈ ,
cos α = eiα + e −iα
2
, sin α = eiα − e −iα
.
2i
Substituïnt els cosinus i sinus a la sèrie de Fourier trigonomètrica en termes d’exponencials
complexes i agrupant termes, hom obté
on
SFT(f)(x) = a 0
2 + ∞ ∑
= C 0 +
=
+∞∑
n=−∞
n=1
∞∑
n=1
{
an − ib n
2
(C n e i2πnx L
C n e i2πnx L ,
e i2πnx L
}
a n + ib n + e −i2πnx L
2
)
+ C−n e −i2πnx L
C 0 = a 0
2 = 1 L
C n = a n − ib n
2
C −n
∫ L
0
= 1 L
= C ∗ n = a n + ib n
2
f(x) dx,
∫ L
0
= 1 L
f(x)e −i2πnx L
∫ L
0
dx,
f(x)e i2πnx L
dx.
La sèrie així obtinguda s’anomena sèrie exponencial (complexa) de Fourier i s’escriu:
SFE(f)(x) =
+∞∑
n=−∞
C n e i2πnx L .
Aquesta forma de la sèrie de Fourier és especialment útil per a l’anàlisi espectral en temps
discret, el que s’anomena la transformada discreta de Fourier (DFT), i la seva implemetació
ràpida, la transformada ràpida de Fourier (FFT), i també per a estendre l’anàlisi de Fourier
a funcions no periòdiques, cas en que s’obté l’anomenada integral (o transformada) de
Fourier.
Valen els mateixos comentaris que per a la SFT, excepte que ara la simetria o antisimetria
de f fa que els C n , en general complexos, siguin reals o imaginaris purs. Fixem-nos que
∫
C n = fφ ∗ , φ(x) = e i2πnx L ,
[0,L]
i que podem definir un sistema ortonormal sobre (0, L) si posem
ϕ n (x) = 1 √
L
e i2πnx L , n ∈ ¤,
Carles Batlle i Enric Fossas 2002