Apunts d’Anàlisi Real

1.8 Sèries de potències 13
Per extensió, en el primer cas es diu que R = 0 i en el segon que R = ∞.
Proposició 1.14 Donada ∑ a n x n sigui 2
γ = lim sup n√ |a n |.
Llavors el radi de convergència és
R = 1 γ .
Demostració: Aplicant el criteri de l’arrel a la sèrie positiva ∑ |a n x n |, és té
√
n |an x n | = n√ |a n ||x|
d’on
lim sup n√ |a n x n | = |x| · γ.
La sèrie convergeix si lim sup n√ |a n x n | < 1 i divergeix si lim sup n√ |a n x n | > 1. Per tant, si γ = 0
la sèrie convergeix per a tot x ∈ ; si 0 < γ < ∞ la sèrie convergeix si |x| < 1/γ; i si γ = ∞ la
sèrie només convergeix si x = 0.
□
Cal notar que si R és el radi de convergència, la sèrie convergeix uniformement en tot
[a, b] ⊂ (−R, R), però no necessàriament en tot (−R, R). Per exemple, la sèrie ∑ n≥0 xn és
convergent en (−1, 1) ja que R = 1; en x = ±1 és divergent. És uniformement convergent en
(−1, 1)? Aquest és un cas en què podem calcular les sumes parcials s n (x) = ∑ n
k=0 xk = 1−xn+1
1−x
i la suma, s(x) = 1/(1 − x). Llavors
sup
1 − x n+1
∣ 1 − x − 1
1 − x∣ = sup
−x n+1
∣ 1 − x ∣ = ∞
x∈(−1,1)
x∈(−1,1)
i no tenim convergència uniforme. El mateix passa en el cas R = ∞: en aquest cas la sèrie
convergeix uniformement en qualsevol interval fitat, però no necessàriament a tot . Per exemple,
∑ n≥0 xn
n!
té R = ∞. Aplicant el criteri de Cauchy de convergència uniforme tindrem, per a
x > 0,
m∑ x k
x>0
|s m (x) − s n (x)| =
≥ |x|m
∣ k! ∣ m! ,
i llavors
k=n+1
|x| m
sup |s m (x) − s n (x)| ≥ sup |s m (x) − s n (x)| ≥ sup
x∈
x∈ , x>0
x∈ , x>0 m!
i no tenim convergència uniforme a .
El següent teorema dóna condicions suficients per a la convergència uniforme en el tancat
[0, R].
Teorema 1.15 (Teorema d’Abel)
= ∞
1. Si ∑ a n x n té radi de convergència R i ∑ a n R n convergeix, llavors ∑ a n x n convergeix
uniformement en [0, R].
2. Si ∑ a n R n = A, llavors lim
x→R − ∑
an x n = A.
2 En l’expressió que segueix lim sup denota el límit superior de la successió corresponent, i no s’ha de confondre
amb l’expressió composta lim sup A que ja ha aparegut.
Carles Batlle i Enric Fossas 2002