Apunts d’Anàlisi Real

2.3 Teorema d’Arzelà-Ascoli 27
(a) Per a cada n ∈ ¡, σ n+1 (x) és una parcial de σ n (x).
(b) Per a cada n ∈ ¡, (f n,m (b n )) convergeix quan m → ∞.
(c) L’ordre de les funcions a cada sucessió és el mateix, fins que desaparèixen.
Apliquem ara el procediment diagonal de Cantor, escollint les funcions de la diagonal principal
Sigui n qualsevol. Segons (c), la parcial
σ(x) : f 1,1 (x), f 2,2 (x), f 3,3 (x), . . .
f n,n (x), f n+1,n+1 (x), f n+2,n+2 (x), . . . ,
que coincideix amb σ(x) a partir de la posició n, és una parcial de σ n (x). Per (b), convergeix
en b n . Com que això passa per a tot n, la successió σ(x) convergeix puntualment en el conjunt
B dens a K.
Fins ara sols hem emprat que la successió està (puntualment) fitada. Emprant l’equicontinuïtat
veurem que la successió diagonal σ convergeix uniformement en K.
Sigui ɛ > 0. Per l’equicontinuïtat, existeix δ = δ ɛ > 0 tal que si x, y ∈ K, |x − y| < δ ɛ
|f n (x) − f n (y)| < ɛ 3 ∀n.
A cada punt b ∈ B li associem l’obert B δ (b) = (b −δ, b+δ). Com que B és dens a K, ∪ b∈B B δ (b)
és un recobriment de K, i per ser K compacte en podem extreure un de finit, amb centres
b 1 , b 2 , . . .,b r :
K ⊂ ∪ r j=1B δ (b j ).
Per la convergència puntual en B, per a cada j = 1, . . .,r hi ha un k (j)
ɛ
tal que, si m, n > k (j)
ɛ ,
Si k ɛ = max j=1,...,r {k (j)
ɛ } i m, n > k ɛ ,
|f m,m (b j ) − f n,n (b j )| < ɛ 3 .
|f m,m (b j ) − f n,n (b j )| < ɛ , j = 1, . . .,r.
3
Si x ∈ K és un punt arbitrari, tindrem que x ∈ B δ (b j ) per a algun j ∈ {1, . . .,r} (potser més
d’un), i per tant, si m, n > k ɛ ,
|f m,m (x) − f n,n (x)| ≤ |f m,m (x) − f m,m (b j )| + |f m,m (b j ) − f n,n (b j )| + |f n,n (b j ) − f n,n (x)|
< ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ,
on el primer i darrer ɛ 3
b j .
Comentaris:
són per l’equicontinuïtat, i el segon és per la convergència puntual en
□
• Si considerem F ⊂ C(M, N), amb M un espai mètric i N un espai de Banach qualsevols, cal
canviar la condició de (puntualment) fitat per puntualment compacte (definició evident)
per tal d’assegurar l’existència de les parcials convergents (d’elements de N) que permeten
engegar la construcció.
Carles Batlle i Enric Fossas 2002