Apunts d’Anàlisi Real

70 La integral de Lebesgue
Demostració. El cas p = 1 ja l’hem considerat i per tant suposarem p > 1. La suma f + g
és mesurable, i com que ∀x ∈ X
|f + g| p ≤ (2màx{|f|, |g|}) p ≤ 2 p {|f| p + |g| p }
i |f| p i |g| p són integrables per hipòtesi, resulta que |f + g| p és integrable i f + g ∈ L p . A més
|f + g| p = |f + g||f + g| p−1 ≤ |f||f + g| p−1 + |g||f + g| p−1 .
} {{ } } {{ }
1
2
Com que f + g ∈ L p , tenim que |f + g| p ∈ L 1 i, escollint q conjugat de p,
∫ ∫
∫ ∣∣
+∞ > |f + g| p = |f + g| (p−1)q = |f + g| p−1∣ ∣ q ,
i per tant |f + g| p−1 ∈ L q . Aplicant la desigualtat de Hölder a la integral del terme 1 tindrem
∫
|f||f + g| p−1 ≤ ||f|| p
(∫
= ||f|| p
(∫
Fent el mateix amb el terme 2 i ajuntant-ho tot s’obté
||f + g|| p p ≤ ||f|| p ||f + g|| p/q
p
+ ||g|| p ||f + g|| p/q
p
|f + g| (p−1)q ) 1/q
|f + g| p ) 1/q
= ||f|| p ||f + g|| p/q
p .
= {||f|| p + ||g|| p } ||f + g|| p/q
p .
Si A = ||f + g|| p = 0, la desigualtat de Minkowski és trivial. Si A ≠ 0 podem dividir per A p/q i
queda
||f + g|| p
p−p/q ≤ ||f|| p + ||g|| p
d’on ||f + g|| p ≤ ||f|| p + ||g|| p .
Teorema 3.40 (L p , || · || p ) , p ≥ 1, és un espai normat.
□
Demostració. Evident de la desigualtat de Minkowski.
□
L p és complet, resultat que es coneix a vegades com a teorema de Riesz-Fischer.
Teorema 3.41 (Teorema de completesa de L p ) L p amb || · || p és un espai de Banach.
Demostració. No la fem. Una demostració pel cas p = 2 es pot trobar a [Fol92], i la
demostració del cas general a [Bar95].
□
Per a finalitzar, anem a introduir un espai que està relacionat amb els L p .
L’espai L ∞ = L ∞ (X, X, µ) està format per les classes d’equivalència de funcions µ-g.a.
iguals, X-mesurables i reals que són fitades µ-g.a. Una funció de L ∞ s’anomena essencialment
fitada.
Si f ∈ L ∞ i N ∈ X amb µ(N) = 0, definim
S(N) = sup{|f(x)|},
x/∈N
i
||f|| ∞ = inf{S(N) ; N ∈ X, µ(N) = 0}.
Carles Batlle i Enric Fossas 2002