Apunts d’Anàlisi Real

3.4 La mesura exterior 51
( ∞
)
⋃
Fixem-nos que no estem imposant σ-additivitat per a qualsevol unió disjunta: µ E n
no té sentit si
∞⋃
E n no pertany a A. Aquest possibilitat no hi era per a σ-àlgebres.
n=1
L’objectiu és definir una mesura en una σ-àlgebra que contingui A i que, sobre A, coincideixi
amb la mesura que ja hi tenim. El primer pas és definir una pseudomesura per a qualsevol
subconjunt de X:
Sigui A una àlgebra de conjunts de X i sigui µ una mesura en A. Si B ∈ P(X) definim
µ ∗ (B) = inf
∞∑
µ(E j )
on l’ínfim es calcula sobre totes les col . leccions (E j ) de conjunts d’A tals que
B ⊂
j=1
∞⋃
E j .
j=1
Fixem-nos que aquest conjunt de col . leccions no és buit, ja que com a mínim conté (X, ∅, ∅, . . .).
La funció de conjunt µ ∗ s’anomena mesura exterior associada a (X, A, µ). No és, en general,
una mesura sobre P(X), però en té quasi totes les propietats:
Proposició 3.10 Si µ ∗ és la mesura exterior associada a (X, A, µ) llavors
1. µ ∗ (∅) = 0.
2. µ ∗ (B) ≥ 0, ∀B ∈ P(X).
3. Si A ⊂ B llavors µ ∗ (A) ≤ µ ∗ (B).
4. Si B ∈ A llavors µ ∗ (B) = µ(B).
5. Si (B n ) ⊂ P(X) llavors (subadditivitat numerable)
( ∞
)
⋃
µ ∗ B n ≤
n=1
∞∑
µ ∗ (B n ).
La mesura exterior té l’avantatge d’estar definida per a conjunts arbitraris de X, però té el
problema de no ser, en general, additiva, ni finita ni mesurablement. Convenientment restringida
és, però, una mesura.
Direm que un subconjunt E de X és µ ∗ -mesurable si satisfà la condició de Carathéodory
n=1
µ ∗ (A) = µ ∗ (A ∩ E) + µ ∗ (A − E)
per a tot A ⊂ X. Aquesta condició diu que E és µ ∗ -mesurable si ell i el seu complementari estan
prou separats (respecte de µ ∗ ) per dividir un conjunt arbitrari A de manera µ ∗ -additiva. Fixemnos
que de la subadditivitat de la mesura exterior ja tenim µ ∗ (A) ≤ µ ∗ (A ∩ E) + µ ∗ (A − E), i
la condició sols estableix la igualtat. Denotarem per A ∗ la col . lecció de conjunts µ ∗ -mesurables
de X associats a l’àlgebra de conjunts A. Tenim llavors el següent teorema fonamental:
n=1
Carles Batlle i Enric Fossas 2002