Apunts d’Anàlisi Real

2.2 Equicontinuïtat 25
Proposició 2.4 Sigui K compacte i sigui (f n ) una successió de funcions de C(K,
successió és uniformement convergent llavors el conjunt
). Si la
F = {f n }
és uniformement fitat.
Demostració. Per la convergència uniforme, agafant ɛ = 1, existeix un k tal que si n > k
llavors
||f k − f n || < 1, ∀n > k.
Com que K és compacte, cada funció contínua f n està fitada. Sigui
m = max{||f 1 ||, . . .,||f k ||} + 1,
de manera que per a n ≤ k les funcions estan fitades per m. Si n > k tindrem, emprant la
desigualtat triangular,
||f n || ≤ ||f k || + ||f n − f k || < ||f k || + 1 ≤ m,
de manera que α = m és una fita de tota la successió.
□
Una família de funcions F ⊂ C(A, ) és equicontínua en A si, ∀ɛ > 0, existeix δ ɛ > 0 tal
que, si x, y ∈ A amb |x − y| < δ ɛ , llavors
|f(x) − f(y)| < ɛ ∀f ∈ F.
Fixem-nos que δ ɛ no depèn ni del punt ni del membre de la família de funcions.
De nou, les successions uniformement convergents en un compacte tenen bones propietats
respecte a l’equicontinuïtat:
Proposició 2.5 Sigui K compacte i sigui (f n ) una successió de funcions de C(K,
successió és uniformement convergent llavors el conjunt
). Si la
F = {f n }
és equicontinu.
Demostració. Sigui ɛ > 0 donat. Per la convergència uniforme, existeix n = n ɛ tal que
||f q − f n || < ɛ 3
∀q > n.
Com que cada funció és contínua, per a tot m existeix δ m > 0 tal que si |x − y| < δ m , x, y ∈ K
llavors
|f m (x) − f m (y)| < ɛ 3 .
Sigui
δ = min{δ 1 , . . .,δ n }.
Obviament δ > 0 i si |x − y| < δ, amb x, y ∈ K, tindrem, si k ≤ n, per la construcció de δ,
mentre que si k > n
|f k (x) − f k (y)| < ɛ 3 ,
|f k (x) − f k (y)| ≤ |f k (x) − f n (x)| + |f n (x) − f n (y)| + |f n (y) − f k (y)| < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3
Carles Batlle i Enric Fossas 2002