Apunts d’Anàlisi Real

3.2 Funcions mesurables 41
a treballar amb la recta real ampliada en lloc de . Per tal de treballar amb els símbols ±∞
juntament amb x ∈ , definirem
(±∞) + (±∞) = x + (±∞) = (±∞) + x = ±∞,
(±∞)(±∞) = +∞,
(±∞)(∓∞) = −∞,
⎧
⎨ ±∞ si x > 0,
x(±∞) = (±∞)x = 0 si x = 0,
⎩
∓∞ si x < 0.
Noteu en particular 0(±∞) = 0, que s’utilitza essencialment per indicar que la integral de la
funció zero sobre qualsevol conjunt, fitat o no, és zero. En canvi, no donem cap significat a
(±∞) − (±∞).
La noció d’integral de Lebesgue es pot estendre definint mesures arbitràries que no
necessàriament coincideixin amb la longitud sobre intervals, i les propietats de convergència
de la integral resultant són igualment vàlides. Sigui X ⊂ un conjunt qualsevol de reals i sigui
X ⊂ P(X) tal que ∅ ∈ X i X és tancat respecte l’operació d’agafar el complementari respecte a
X i sota la unió numerable. Suposem que existeix una funció, la mesura,
µ : X −→ + ∪ {0}
tal que µ(∅) = 0 i que és numerablement additiva:
µ ( ∪ ∞ ) ∑
∞
j=1E j = µ(E j )
si E j ∈ X i E j ∩ E k = ∅ per a j ≠ k. Llavors la integral es pot definir per a funcions que tingui
certa propietat respecte de X (ser “X-mesurables”), i té bones propietats de convergència.
Nosaltres estarem especialment interessats en aquestes propietats de convergència (intercanvi
de limits i integració), i per tant de moment ens creurem que existeix una mesura mesurablement
additiva que generalitza la longitud d’un interval, l’anomenada mesura de Lebesgue. En el
següent tema veurem com construir aquestes mesures.
3.2 Funcions mesurables
Anem a desenvolupar la teoria de la integració de funcions reals definides sobre un conjunt X.
Aquest conjunt pot ser un interval obert real, un tancat a
2 o pot ser X = ¡. La construcció
que farem no depèn dels detalls de X, sempre i quan tinguem una família de subconjunts X ben
comportada en un cert sentit tècnic, el de ser una σ−àlgebra.
X ⊂ P(X) és una σ−àlgebra si
(σ1) ∅ ∈ X.
(σ2) si A ∈ X, llavors A = X − A ∈ X.
(σ3) si A n ∈ X ∀n ∈ ¡, llavors ∪ ∞ n=1 A n ∈ X.
Direm que (X, X) és un espai mesurable i els elements de X els anomenarem conjunts
X −mesurables. Recordem que A − B = A ∩ B i que
∞⋂ ∞⋃
A n = A n ,
de manera que la intersecció numerable de mesurables també és mesurable.
n=1
j=1
n=1
Carles Batlle i Enric Fossas 2002