Apunts d’Anàlisi Real

4 Sèries de Fourier
L’anàlisi de Fourier és una de les branques més actives i riques tant de la matemàtica aplicada
com de l’anàlisi, i té una importància molt gran en moltes aplicacions d’enginyeria. Veurem
que el marc natural de les sèries de Fourier és l’espai de les funcions de quadrat integrable, L 2 .
Les principals referències que emprarem són [Fol92], [Apo79] i [Sta98]. A [Fra99] es pot trobar
material més avançat.
4.1 L’equació de la calor
Encara que des del punt de vista matemàtic les sèries de Fourier es poden veure de forma natural
com una generalització de les idees dels espais euclidians, el seu origen històric prové de l’intent
de descriure certs fenòmens físics, i començarem aquest tema presentant-ne un.
Sigui un tub molt prim i homogeni de longitud l. Si T(x, t) representa la temperatura d’un
punt del tub de coordenada x a l’instant t, l’equació que governa l’evolució de T(x, t) és
∂T
∂t = c2∂2 T
∂x 2 , (4.1)
on c 2 > 0 és una constant que depèn de la calor específica i de la conductivitat tèrmica del
material del tub. Aquesta EDP és del tipus anomenat parabòlic, i el que diu és que l’evolució
temporal de la temperatura, per efecte de la conducció calorífica des de les parts més calentes
a les més fredes, tendeix a igualar els valors de T al llarg del tub: en els punts on T és cóncava
(respecte de x), i.e a prop de mínims locals, T creix respecte del temps, mentre que a prop de
màxims locals decreix. El que volem fer aquí és resoldre formalment (4.1), amb els requeriments
següents:
• condicions de contorn: 0 = T(0, t) = T(l, t), ∀t ≥ 0,
• condicons inicials: T(x,0) = f(x), x ∈ [0, l].
La funció f dóna el perfil inicial de temperatura, i el fet de mantenir els extrems a zero farà que
per a temps gran tot el tub estigui a temperatura propera a zero.
Per resoldre el problema emprarem el mètode de separació de variables, és a dir, cercarem
una solució de la forma
T(x, t) = A(x)B(t).
Substituïnt a (4.1) queda
B ′ (t)
B(t) = (x)
c2A′′
A(x) .
Carles Batlle i Enric Fossas 2002