Apunts d’Anàlisi Real

54 La integral de Lebesgue
Exemple. Sigui
Podem escriure
però també
⎧
3 x ∈ [0, 1]
⎪⎨
2 x ∈ (1, 5)
ϕ(x) =
2 x ∈ (7, 10]
⎪⎩
0 altrament.
ϕ = 3 · £ [0,1] + 2 · £ (1,5) + 2 · £ (7,10] + 0 · £ [−3,−2] ,
ϕ = 3 · £ [0,2] − 1 · £ (1,2] + 2 · £ (1,5) + 2 · £ (7,10] .
Entre totes les representacions de ϕ n’hi ha una, anomenada canònica, caracteritzada pel fet
que els a j són diferents dos a dos i els E j són disjunts, no buits i tals que la seva unió és X. En
l’exemple anterior, la representació canònica és
ϕ = 3 · £ [0,1] + 2 · £ (1,5)∪(7,10] + 0 · £ [0,5)∪(7,10]
.
Exercici: Demostreu que la representació canònica és única.
Si ϕ és una funció simple de M + (X, X) amb representació canònica (3.7), definim la integral
de ϕ respecte de µ com el valor de
∗ donat per
∫
ϕ dµ =
n∑
a j µ(E j ). (3.8)
j=1
Com sempre, en aquesta definició prenem la convenció 0 · (+∞) = 0. La integral està ben
definida ja que els a j són no negatius i no poden aparèixer expressions no definides com ∞−∞. Si
considerem la funció £ característica E d’un E ∈ X, amb representació canònica ϕ 1·£ = E +0·£ E
,
tindrem
∫
£E dµ = 1 · µ(E) + 0 · µ(E) = µ(E).
Si s’entén quina mesura s’utilitza escriurem ∫ ϕ en lloc de ∫ ϕ dµ.
Lema 3.15 Sigui (X, X, µ) un espai de mesura.
1. Si c ≥ 0 i ϕ ∈ M + (X, X) és una funció simple,
∫ ∫
cϕ = c
ϕ.
2. Si ϕ, ψ ∈ M + (X, X) són funcions simples,
∫ ∫
(ϕ + ψ) =
∫
ϕ +
ψ.
3. Si ϕ ∈ M + (X, X) és una funció simple,
∫
λ(E) =
ϕ£ E dµ
és una mesura a X.
Demostració.
Carles Batlle i Enric Fossas 2002