Apunts d’Anàlisi Real

94 Sèries de Fourier
1
1
0.5
0.5
–6 –4 –2 2 4 6
x
–6 –4 –2 2 4 6
x
–0.5
–0.5
–1
–1
(a) N = 10
(b) N = 30
Figura 4.3: Sumes parcials per a la funció signe periòdica.
f ∈ PS( ) SFT(f)(x) = (f(x + ) + f(x − ))/2
f contínua, f, f ′ ∈ PS( ) (SFT(f)(x)) ′ = SFT(f ′ )(x) = (f ′ (x + ) + f ′ (x − ))/2
f ∈ PC( )
SFT(f)(x) integrable terme a terme
f contínua i PS( ) SFT(f)(x) convergeix uniforme i absolutament a
f ∈ C (k−1) ( ), f (k) ∈ PC( )
lim
n→∞ nk a n = lim
n→∞ nk b n = 0
Amb les modificacions evidents, els mateixos resultats valen per les altres sèries de Fourier
trigonomètriques.
4.5 El fenomen de Gibbs
Quan f és PS( ) però no contínua, la convergència de SFT(f)(x) cap a (f(x + ) + f(x − ))/2 no
és uniforme: si ho fos, al ser les sumes parcials funcions contínues, la sèrie hauria de convergir
cap a una funció contínua i g(x) = (f(x + )+f(x − ))/2 no ho és si f no és contínua. Aquesta convergència
no uniforme de les sèries de Fourier de funcions discontínues es manifesta gràficament
en l’anomenat, per raons històriques, fenomen de Gibbs.
Sigui per exemple la funció signe estesa 2π-periòdicament,
ɛ(x) =
{ 1 x ∈ (0, π),
−1 x ∈ (−π, 0).
Hom té immediatament a n = 0 ∀n i b 2n = 0, b 2n+1 = 4 π
són
S N (x) = 4 N∑
π
k=0
1
sin(2k + 1)x.
2k + 1
1
2n+1
, de manera que les sumes parcials
A la Figura 4.3 apareixen representades les sumes parcials per a N = 10 i N = 30.
Carles Batlle i Enric Fossas 2002