Apunts d’Anàlisi Real

1.3 Convergència uniforme i continuïtat 5
1.3 Convergència uniforme i continuïtat
Teorema 1.2 Sigui (f n ) una successió de funcions contínues que convergeix uniformement vers
f en A. Llavors també f ∈ C(A).
Demostració. Sigui a un punt interior de A. Tenim
|f(x) − f(a)| ≤ |f(x) − f n (x)| + |f n (x) − f n (a)| + |f n (a) − f(a)|.
Amb les hipòtesis de convergència uniforme i continuïtat de les f n , donat ε > 0 existeixen
ν ε ∈ ¡, ν ′ ε ∈ ¡ i δ ɛ,n > 0 tals que
• |f(x) − f n (x)| < ε/3 per a tot x ∈ A si n ≥ ν ε , per la convergència uniforme,
• |f n (x) − f n (a)| < ε/3 si |x − a| < δ ε,n , per la continuïtat de cada f n ,
• |f(a) − f n (a)| < ε/3 si n ≥ ˜ν ε , per la convergència puntual.
Com que ν ε és independent de x per la convergència uniforme, podem escollir ν ɛ ′′ = max{ν ε , ν ε}
′
independent de x. Llavors queda fixat δ ε,ν ′′ i si x és tal que |x−a| < δ ε ε,ν ε ′′ i queda |f(x)−f(a)| < ε
i per tant f és contínua en a. Noteu que la cadena d’elecció és
ε −→ ν ′′
ε −→ δ ε,ν ′′
ε
i que no podriem escollir |x − a| < δ ε,ν ′′ si ν′′
ε ε fós dependent de x. Noteu també que tant δ ε,ν ′′
ε
com ν ε ′ depenen d’a i per tant la continuïtat de f no serà, en general, uniforme. □
Exercici: Sigui f n (x) = x n , x ∈ [0, 1], que convergeix no uniformement. Vegeu explícitament
quin és l’obstacle que impedeix procedir amb la demostració del Teorema 1.2.
Exemple: Si f n i f són contínues, la convergència no és necessàriament uniforme. Si
f n (x) = x n , x ∈ (0, 1), tenim f(x) = lim f n(x) = 0 per a tot x ∈ (0, 1), que és contínua. La
x→∞
convergència no és, però, uniforme:
sup |x n − 0| = 1.
x∈(0,1)
Cal afegir quelcom més, tant al conjunt A com a les f n , si volem garantir la convergència
uniforme.
Lema 1.3 (Lema de Dini) Sigui (f n ) → f puntualment sobre un compacte A, amb f n i f
contínues i de manera que la successió (f n ) és puntualment monòtona (creixent o decreixent).
Aleshores la convergència és uniforme en A.
Demostració. Suposem per exemple que (f n ) és monòtonament decreixent i sigui g n =
f n − f. Les g n són contínues, (g n (x)) → 0 i g n (x) ≥ g n+1 (x) per a tot x ∈ A. Sigui ε > 0. Com
que (g n (x)) → 0, per a cada x ∈ A existeix un ν x ∈ ¡ tal que g n (x) < ε/2 si n ≥ ν x . Noteu que
no posem el valor absolut ja que les g n són positives (decreixen cap a zero).
Per ser g νx contínua, existeix un entorn U x de x tal que g νx (y) ≤ ε si y ∈ U x , i per tant, pel
decreixement monòton, g n (y) ≤ ε si n ≥ ν x .
La família {U x } x∈A és un recobriment obert d’A i, per ser A compacte, admet un subrecobriment
finit {U 1 , U 2 , . . .,U k } corresponent als punts x 1 , . . .,x k amb índex ν 1 , . . .,ν k . Sigui
ν = max{ν 1 , . . .,ν k } i sigui x ∈ A, que estarà en un dels U m . Si n ≥ ν tindrem
|g n (x)| = g n (x) ≤ g ν (x) ≤ g νm (x) < ε,
Carles Batlle i Enric Fossas 2002