Apunts d’Anàlisi Real

40 La integral de Lebesgue
x ∈ [a, b] i ϕ(x) = 0 si x /∈ [a, b]. Es diu llavors que f és integrable de Riemann en [a, b], i s’escriu
f ∈ R([a, b]), si
L(f; [a, b]) = U(f; [a, b]).
La integral de Lebesgue s’obté per un procés similar, excepte que les funcions esglaonades es
substitueixen per un conjunt diferent de funcions i la noció de longitud s’estén a una col . lecció
X de subconjunts de més generals que els intervals, obtenint-se el que s’anomena mesura o
longitud generalitzada, µ. En concret, les funcions esglaonades es substitueixen per funcions
simples, que són funcions combinació lineal de funcions característiques de conjunts de X (les
funcions esglaonades en són un cas particular). Si
és una funció simple, aleshores
∫
ϕ =
ϕ =
n∑
c j £ Ej
j=1
n∑
c j µ(E j ).
j=1
Si f és una funció no negativa definida sobre que té unes certes propietats, definirem la seva
integral de Lebesgue com el suprem de les integrals de totes les funcions simples ϕ tals que
ϕ(x) ≤ f(x) ∀x ∈ . La integral es pot estendre després a funcions apropiades amb els dos
signes.
Un exemple de funció simple que no és una funció esglaonada ve donat per
{ 1 si x ∈ ¢ ∩ [0, 1],
ϕ(x) =
0 altrament,
que es pot escriure com
i per tant
∫
ϕ = 1 · £ ∩[0,1] + 0 · £ ∩[0,1]
ϕ = 1 · µ(¢ ∩ [0, 1]) + 0 · µ(¢ ∩ [0, 1]) = µ(¢ ∩ [0, 1]).
Veurem que les propietats que requerirem a la mesura µ per estendre correctament la noció
de longitud d’un interval fan que la mesura de qualsevol conjunt numerable, que és el cas de
¢ ∩ [0, 1], sigui zero. Per tant ∫
ϕ = 0.
En canvi, es fàcil veure que aquesta funció no és integrable de Riemann, donat que la suma
superior val 1 i la inferior val 0.
De manera simbòlica, podem dir que
integral de Riemann ∼
∑
bases × alçades
intervals
mentre que
integral de Lebesgue ∼
∑
alçades × sumes de bases.
valors de ϕ
Fixem-nos que en el nostre exemple hem posat 0 · µ(¢ ∩ [0, 1]) = 0 encara que cal esperar
que µ(¢ ∩ [0, 1]) = µ( ) = +∞. De fet, l’aparició de conjunts de mesura infinita ens porta
Carles Batlle i Enric Fossas 2002