Apunts d’Anàlisi Real

2.5 Teorema de Stone-Weierstrass 33
i sigui
M = sup |x n + · · · + x + 1|,
x∈[a,b]
que depen de n i per tant de ɛ. Siguin b j ∈ ¢ tals que
Llavors
|b j − a j | < ɛ , j = 0, 1, . . .,n.
2M
sup |b n x n + · · · + b 1 x + b 0 − f(x)| ≤ sup |(b n − a n )x n + · · · + (b 1 − a 1 )x + (b 0 − a 0 )|
x∈[a,b]
x∈[a,b]
+ sup |a n x n + · · · + a 1 x + a 0 − f(x)|
x∈[a,b]
ɛ
<
2M sup |x n + · · · + x + 1| + ɛ
x∈[a,b]
2 = ɛ
i per tant el polinomi amb coeficients racionals p(x) = b n x n + · · · + b 1 x + b 0 és tal que
||p − f|| < ɛ.
Per veure la numerabilitat, demostrarem que els polinomis amb coeficients enters són numerables,
i deixem com exercici veure com se’n dedueix la numerabilitat dels polinomis amb
coeficients racionals. Sigui
un polinomi amb coeficients enters. Sigui
p(x) = c n x n + c n−1 x n−1 + · · · + c 1 x + c 0
H(p) = n + |c n | + |c n−1 | + · · · + |c 1 | + |c 0 |.
Es verifica que H(p) ∈ ¡ i H(p) ≥ 1. Per a un h ∈ ¡ fixat, sols hi ha un nombre finit de
polinomis tals que h = H(p) (això és fals si treiem la n de la definició de H(p)). Podem llavors
numerar tots els polinomis amb coeficients enters per ordre creixent de H(p), amb ordenació
arbitrària per a un H(p) donat. Aquesta mateixa demostració serveis per veure que el conjunt
de nombres algebraics, els que satisfan equacions polinòmiques amb coeficients racionals, és
numerable.
Resumint, hem establert la següent analogia amb el conjunt dels reals, pel que fa a les
propietats d’aproximació:
( , | · |) ⇔ (C([a, b], ), || · || sup )
¢ ⇔ ¢[x]
2.5 Teorema de Stone-Weierstrass
Ens preguntem ara si és possible generalitzar el resultat del teorema d’aproximació de Weirestrass:
existeixen altres conjunts de funcions, a més dels polinomis, que permetin aproximar
uniformement funcions contínues arbitràries sobre un compacte?
Per respondre a aquesta pregunta, començarem introduint una mica de notació. Donades
dues funcions reals qualsevols es defineix
(f ∨ g)(x) = max{f(x), g(x)},
(f ∧ g)(x) = min{f(x), g(x)}.
Carles Batlle i Enric Fossas 2002