Apunts d’Anàlisi Real

4.4 Sèries de Fourier trigonomètriques 93
Si C ′ n són els coeficients complexos de f ′ sabem, sota les condicions del teorema, que C ′ n = inC n .
Per la desigualtat de Bessel
i, per tant, per a tot N ∈ ¡,
N∑
n=−N
∞∑
n=−∞
|C n | = |C 0 | +
CS
≤ |C 0 | + ⎝
|C n| ′ 2 ≤ 1 ∫ π
|f ′ (x)| 2 dx < +∞
2π −π
N∑
n=−N,n̸=0
⎛
⎛
≤ |C 0 | + ⎝
N∑
n=−N,n̸=0
∞∑
n=−∞,n≠0
|C ′ n|
n
⎞1/2 ⎛
1
⎠ ⎝
n 2
⎞
1
⎠
n 2
N∑
n=−N,n̸=0
1/2 ⎛
⎝
∞∑
n=−∞,n≠0
⎞1/2
|C n| ′ 2 ⎠
⎞1/2
|C n| ′ 2 ⎠ = k < +∞,
on k és finit i independent de N, i a on hem utilitzat la desigualtat de Cauchy-Schwarz (CS) a
2N . Per tant
∞∑
N∑
|C n | = lim |C n | < +∞,
N→∞
n=−∞
i d’aquí es segueix la convergència de les sèries dels valors absoluts dels coeficients reals.
Els resultats que hem vist fan pensar que com més derivades contínues tingui f més depressa
decreixeran els seus coeficients de Fourier amb n. Concretament hom té la
Proposició 4.15 Sigui f 2π-periòdica i de classe C k−1 ( ), i a més f k−1 ∈ PS( ), és a dir,
f té derivades contínues a tot fins ordre k − 1 i la derivada k és PC( ). Llavors
−N
□
∑
(n k a n ) 2 < +∞,
∑
(n k b n ) 2 < +∞,
∑
|n k C n | 2 < +∞,
d’on
lim
n→∞ nk a n = lim
n→∞ nk b n = lim
n→∞ nk C n = 0.
Demostració. Sota les condicions esmentades, podem aplicar el lema 4.11 k vegades fins
arribar a que els coeficients de Fourier C n
(k) de f (k) són C n
(k) = (in) k C n , i llavors sols cal aplicar
la desigualtat de Bessel a la sèrie de Fourier de f (k) .
□
Ja sabem que qualsevol funció de L 2 té coeficients de Fourier que tendeixen a zero, però
aquest resultat diu quelcom més. Per exemple, si f és C 0 ( ) i PS( ), llavors, amb k = 1,
lim na n = lim nb n = 0,
n→∞ n→∞
mentre que si f és C 1 ( ) i f ′ és PS( ), llavors, amb k = 2,
lim
n→∞ n2 a n = lim
n→∞ n2 b n = 0.
Resumint, les propietats de convergència local de les sèries de Fourier trigonomètriques d’una
funció 2π-periòdica són
Carles Batlle i Enric Fossas 2002