Apunts d’Anàlisi Real

8 Successions i sèries funcionals
Per la hipòtesi de convergència en x 0 tenim que
f n (x 0 ) → lim
n→∞ f n(x 0 ) = f(x 0 )
mentre que la convergència uniforme de la successió de derivades ens permet aplicar-hi el corollari
1.5 i escriure
Per tant, prenent el límit a (1.5),
lim
n→∞
∫ x
x 0
f ′ n =
∫ x
x 0
g.
∫ x
f(x) = f(x 0 ) + g
x 0
i f ′ = g. A més la convergència de f n a f és uniforme ja que, pel Corol . lari 1.5, ∫ x
x 0
f n ′ convergeix
uniformement.
□
Comentaris:
• A diferència de la integració, per a la derivació la convergència uniforme de la successió
original és irrellevant: cal que la sigui la successió de les derivades la que convergeixi
uniformement.
• Per a demostrar la derivació en un punt concret, n’hi ha prou a cercar un [a, b] convenient
que contingui el punt.
Exercici: Feu la demostració sense suposar que les f n són C 1 .
1.6 Criteris de convergència uniforme per a sèries
Tal com hem dit, si tenim
el problema d’aplicar el test
s n (x) =
n∑
f k (x), x ∈ A,
k=1
lim sup |s n (x) − s(x)|
n→∞
x∈A
és trobar formes tancades per a s n (x) i s(x). Aniria bé disposar de criteris basats directament
en les funcions f n .
Proposició 1.7 (Criteri de Weierstrass) Sigui (f n ) tal que ∀n ∃M n tal que, ∀x ∈ A, |f n (x)| ≤
M n . Llavors, si ∑ M n és convergent, ∑ f n convergeix uniformement sobre A.
Demostració: Aplicarem el criteri de Cauchy de convergència uniforme. Tenim
n∑
n∑
n∑
|s n (x) − s m (x)| =
f
∣ k (x)
∣ ≤ |f k (x)| ≤ M k .
k=m+1
k=m+1
k=m+1
Atès que ∑ M n és convergent, pel criteri de Cauchy, ∀ε ∃ν ε tal que ∀m, n > ν ε ,
n∑
k=m+1
M k < ε.
□
Tot seguit veurem dos criteris més elaborats. El primer d’ells permet obtenir una sèrie
uniformement convergent modificant lleugerament una que ja ho és.
Carles Batlle i Enric Fossas 2002