Apunts d’Anàlisi Real

4.2 Producte escalar i sistemes ortonormals 75
Està ( clar, però, que cap d’aquestes solucions satisfà la condició inicial excepte si f(x) =
nπ
)
A sin
l x per a algun n ∈ ¡. Per tal de satisfer la condició inicial en general podem considerar
una suma infinita de solucions d’aquest tipus, amb coeficients arbitraris:
T(x, t) =
∞∑
T n (x, t) =
n=1
∞∑
n=1
T n sin nπ
l x e− n2 c 2 π 2
l 2 t . (4.3)
Aquesta sèrie satisfà les condicions de contorn i és, formalment, solució de l’EDP. Diem formalment
ja que no sabem si podem derivar la sèrie terme a terme, encara que, per a t > 0, sembla
que això serà possible si els T n no creixen exponencialment. Imposant la condició inicial queda
f(x) = T(x,0) =
∞∑
n=1
T n sin nπ x, x ∈ [0, l]. (4.4)
l
Podrem per tant resoldre le nostre problema si som capaços d’expressar f com a sèrie en sinus
de periodes espacials
τ n = 2l
n
que són tots divisors del periode fonamental 2l. La sèrie (4.4) és un cas especial del que s’anomena
sèrie de Fourier trigonomètrica (el cas general conté també termes en cosinus, que aquí valen
zero degut a les condicions de contorn).
De la forma de (4.3) ja es veu que
lim T(x, t) = 0,
t→+∞
tal com era esperat donades les condicions de contorn imposades, que permeten el flux de calor
pels extrems cap a T = 0. Aquest tipus de condicions, que fixen el valor de la solució en els
extrems (sigui zero o no) s’anomenen condicions de contorn de Dirichlet. Si en lloc d’això es fixa
el valor del gradient espacial ∂T
∂x
en els extrems, s’obtenen les anomenades condicions de contorn
de von Neumann. Per exemple,
∂T ∂T
(0, t) = (l, t) = 0 ∀t ≥ 0
∂x ∂x
corresponen a flux de calor nul pels extrems (i per tant a un valor constant en el temps de la
integral espacial de T).
Exercici. Sota les condicions de flux de calor nul en els extrems, demostreu formalment que
la solució de l’equació de la calor satisfà
d
dt
∫ l
0
T(x, t) dx = 0.
Repetiu el càlcul de la solució pel procediment de separació de variables en aquest cas.
4.2 Producte escalar i sistemes ortonormals
Per tal de descriure de manera més clara els problemes bàsics de la teoria de sèries de Fourier,
és necessari introduir el concepte de producte escalar i algunes idees sobre funcions ortogonals.
L’espai L 2 (I), on I és un interval de , juga un paper fonamental.
Carles Batlle i Enric Fossas 2002