Apunts d’Anàlisi Real

30 Espais de funcions contínues
defineix g ∈ C([0, 1], ). Si p ∈ [x] és un polinomi tal que ||g − p|| < ɛ en [0, 1], llavors
és tal que
q(t) = p
( ) t − a
= p(x)
b − a
sup |f(t) − q(t)| = sup |f(a + (b − a)x) − q(a + (b − a)x)|
t∈[a,b]
x∈[0,1]
= sup |g(x) − p(x)| < ɛ.
x∈[0,1]
Per tant, n’hi a prou amb demostrar el teorema en C([0, 1],
polinomis de Bernstein:
Donada f : [0, 1] → , el polinomi
B n,f (x) =
n∑
( )( k n
f x
n k)
k (1 − x) n−k , n ∈ ¡,
k=0
). A tal efecte introduïm els
s’anomena el polinomi de Bernstein d’ordre n de f.
El teorema d’aproximació de Weierstrass és llavors una conseqüència de la discussió anterior
i del següent
Teorema 2.12 (Teorema d’aproximació de Bernstein) Si f ∈ C([0, 1], ), per a tot ɛ > 0
existeix n ∈ ¡, que depèn de ɛ, tal que
La demostració es basa en el lema següent.
Lema 2.13 ∀x ∈ [0, 1], ∀n ∈ ¡,
n∑
k=0
||f − B n,f || < ɛ.
(
x − k ) 2 ( n
x
n k)
k (1 − x) n−k ≤ 1
4n .
Demostració. Del teorema del binomi de Newton
n∑
( n
x
k)
k a n−k = (x + a) n (2.2)
k=0
tenim, derivant respecte a x i multiplicant per x,
n∑
( n
kx
k)
k a n−k = nx(x + a) n−1 . (2.3)
k=0
Repetint la mateixa operació amb (2.3) queda
n∑
( n
k
k)
2 x k a n−k = nx(x + a) n−1 + n(n − 1)x 2 (x + a) n−2 . (2.4)
k=0
Carles Batlle i Enric Fossas 2002