Apunts d’Anàlisi Real

3.9 Integrals depenents de paràmetres 65
3.9 Integrals depenents de paràmetres
A vegades es consideren integrals on l’integrand depèn d’un paràmetre real. Anem a veure com
el TCD permet tractar aquestes situacions. En el que segueix, f serà una funció real definida a
X × [a, b], i suposarem que la funció
x ↦→ f(x, t)
és X-mesurable per a cada t ∈ [a, b]. Les hipòtesis addicionals s’especificaran en cada cas. Per
evitar confusions amb el paràmetre t, indicarem la integració de Lebesgue en X mitjançant
dµ(x).
Lema 3.29 Suposem que, per a algun t 0 ∈ [a, b],
f(x, t 0 ) = lim
t→t0
f(x, t), ∀x ∈ X,
i que existeix una funció integrable g ∈ L(X, X, µ) tal que |f(x, t)| ≤ g(x), ∀t ∈ [a, b], ∀x ∈ X.
Aleshores
∫
∫
f(x, t 0 ) dµ(x) = lim f(x, t) dµ(x).
t→t0
Demostració. Sigui (t n ), t n ∈ [a, b] ∀n, amb t n → t 0 . Definim f n (x) = f(x, t n ). per
hipòtesi tenim
lim f n(x) = lim f(x, t n) = f(x, lim t n) = f(x, t 0 )
n→∞ n→∞ n→∞
i llavors
∫
∫
∫
f(x, t 0 ) dµ(x) = lim f n(x) dµ(x) TCD = lim f n (x) dµ(x)
n→∞ n→∞
∫
∫
= lim f(x, t n ) dµ(x) = lim f(x, t) dµ(x).
n→∞
t→t0
Corol . lari 3.30 Si la funció t ↦→ f(x, t) és contínua en [a, b] ∀x ∈ X i si existeix g ∈ L(X, X, µ)
tal que |f(x, t)| ≤ g(x) ∀t ∈ [a, b], ∀x ∈ X, llavors la funció
∫
F(t) = f(x, t) dµ(x)
és contínua en [a, b].
Demostració. Podem aplicar el Lema 3.29 a qualsevol punt t 0 ∈ [a, b], i llavors
∫
∫
lim F(t) = lim f(x, t) dµ(x) 3.29 = f(x, t 0 ) dµ(x) = F(t 0 ).
t→t 0 t→t0
Corol . lari 3.31 Suposem que la funció x ↦→ f(x, t 0 ) és integrable per a algun t 0 ∈ [a, b], que
(x, t) existeix en X × [a, b], i que existeix g ∈ L(X, X, µ) tal que
∂f
∂t
| ∂f (x, t)| ≤ g(x)∀t ∈ [a, b], ∀x ∈ X.
∂t
□
□
Carles Batlle i Enric Fossas 2002