Apunts d’Anàlisi Real

1.5 Convergència uniforme i derivació 7
i llavors
S(f, P ε ) − I(f, P ε ) = S(f, P ε ) − S(f n , P ε ) + S(f n , P ε ) − I(f n , P ε ) + I(f n , P ε ) − I(f, P ε )
<
(1.2)(1.3)(1.4)
ε + ε + ε = 3ε
i queda demostrat que f és integrable en [a, b]. A més
i per tant
Comentaris:
∣
∫ b
a
f n −
∫ b
a
∫ b
f
∣ ≤ |f n − f| <
∫ b
a
a
f n →
∫ b
• És fonamental demostrar primer l’existència de ∫ b
a f.
a
f.
∫ b
a
ε
b − a = ε
• La demostració no és vàlida si la regió d’integració no és fitada. Cal afegir llavors que les
f n estiguin fitades per una funció integrable.
Corol . lari 1.5 En les mateixes condicions del teorema, si x ∈ [a, b]
(∫ x
) ∫ x
f n → f
uniformement.
a
Demostració: De la mateixa demostració del teorema es dedueix la convergència puntual
per a tot x ∈ [a, b]. Donat ε > 0, existeix ν ε ∈ ¡ tal que si n ≥ ν ε llavors
i per tant
∣∫ ∣∣∣ x
f n −
amb n independent de x.
a
∫ x
a
|f n (x) − f(x)| < ε
b − a
∫ x
f
∣ ≤ |f n − f| <
a
∫ x
a
a
∀x ∈ [a, b],
ε
∣b − a∣ =
1.5 Convergència uniforme i derivació
ε (x − a) ≤ ε,
b − a
Teorema 1.6 Sigui (f n ) una successió de funcions derivables en [a, b]. Suposem que existeix
x 0 ∈ [a, b] tal que (f n (x 0 )) convegeix. Si (f ′ n) convergeix uniformement vers una funció g en
[a, b], aleshores (f n ) convergeix uniformement vers una funció f en [a, b], que és derivable, i es
verifica f ′ = g.
Demostració: Per fer la demostració més curta, suposarem que les f n a més de ser derivables
són C 1 [a, b]. Si f n ′ és contínua podem escriure
f n (x) = f n (x 0 ) +
∫ x
x 0
f ′ n ∀x ∈ [a, b]. (1.5)
□
□
Carles Batlle i Enric Fossas 2002