Apunts d’Anàlisi Real

44 La integral de Lebesgue
Algunes combinacions algebraiques de funcions mesurables són mesurables:
Proposició 3.2 Siguin f i g funcions reals X-mesurables. Llavors, si c ∈ ,
són també X-mesurables.
Demostració:
i)cf, ii) f 2 , iii) f + g, iv) fg, v) |f|
i) Si c = 0, cf = 0 és una funció constant i per tant X-mesurable. Si c > 0, llavors
{x ∈ X ; cf(x) > α} = {x ∈ X ; f(x) > α/c},
que pertany a X per ser f X-mesurable, mentre que si c < 0,
també és de X.
{x ∈ X ; cf(x) > α} = {x ∈ X ; f(x) < α/c}
ii) Si α < 0, {x ∈ X ; (f(x)) 2 > α} = X ∈ X. Si α ≥ 0,
{x ∈ X ; (f(x)) 2 > α} = {x ∈ X ; f(x) > √ α} ⋃ {x ∈ X ; f(x) < − √ α},
que és la unió de dos elements de X i, per tant, de X.
iii) Sigui r ∈ ¢ i sigui
S r = {x ∈ X ; f(x) > r} ∩ {x ∈ X ; g(x) > α − r},
que pertany a X per ser f i g funcions X-mesurables. Demostrarem que
{x ∈ X ; (f + g)(x) > α} = ⋃
i haurem acabat, degut al tercer axioma de σ-àlgebra (per això és important emprar aquí
els racionals, que són numerables). D’una banda, si x ∈ ⋃ r∈
S r, existirà r ¢ ∈ tal que
x ∈ S r i per tant (f +g)(x) = f(x)+g(x) > r+α−r = α. D’altra banda, si (f +g)(x) > α,
sigui k = α − g(x), i.e. g(x) = α − k. Llavors ha de ser
r∈
α < f(x) + g(x) = f(x) + α − k,
d’on f(x) > k. Sigui r ∈ ¢ tal que k < r < f(x). Es té llavors f(x) > r i g(x) = α − k >
α − r, d’on x ∈ S r .
iv) Evident a partir de fg = 1/4((f + g) 2 − (f − g) 2 i els tres apartats anteriors.
v) Es fa igual que per al quadrat.
S r
Si f : X →
, siguin f + i f − les funcions no negatives donades per
f + = f ∨ 0, f − = (−f) ∨ 0,
□
anomenades part positiva i part negativa de f. Donat que
f = f + − f − , |f| = f + + f − , f + = 1 2 (|f| + f), f − = 1 (|f| − f),
2
es dedueix de la proposició prèvia el
Carles Batlle i Enric Fossas 2002