Apunts d’Anàlisi Real

66 La integral de Lebesgue
Llavors la funció
∫
F(t) =
f(x, t) dµ(x)
és derivable en [a, b] i
F ′ (t) =
∫ ∂f
(x, t) dµ(x).
∂t
Demostració. Sigui t ∈ [a, b] i sigui (t n ) ⊂ [a, b], t n → t, t n ≠ t. Llavors
∂f
(x, t) = lim
∂t t n→t
f(x, t n ) − f(x, t)
, x ∈ X.
t n − t
La funció x ↦→ ∂f
∂t
(x, t) és per tant mesurable per a cada t, per ser límit de mesurables. Per
a cada x ∈ X podem aplicar el teorema del valor mig (respecte a la variable t) i deduir que
existeix s entre t 0 i t tal que
Per tant
f(x, t) − f(x, t 0 ) = (t − t 0 ) ∂f (x, s).
∂t
|f(x, t)| ≤ |f(x, t 0 )| + |t − t 0 |g(x),
de manera que x ↦→ f(x, t) és integrable per a cada t ∈ [a, b]. Per tant, emprant la linealitat, si
t n ≠ t,
∫
F(t n ) − F(t) f(x, tn ) − f(x, t)
=
dµ(x).
t n − t
t n − t
L’integrand està dominat en valor absolut per g(x) i per tant
∫ ∂f
∂t dµ(x) = ∫
lim
n→∞
= lim
n→∞
f(x, t n ) − f(x, t)
t n − t
F(t n ) − F(t)
= F ′ (t).
t n − t
dµ(x) TCD = lim
n→∞
∫ f(x, tn ) − f(x, t)
dµ(x)
t n − t
Corol . lari 3.32 Si la funció t ↦→ f(x, t) és contínua en [a, b] ∀x ∈ X i si existeix g ∈ L(X, X, µ)
tal que |f(x, t)| ≤ g(x) ∀t ∈ [a, b], ∀x ∈ X, llavors
∫ b
a
{∫
}
f(x, t) dµ(x) dt =
∫ {∫ b
a
}
f(x, t) dt dµ(x),
on les integrals respecte a t es consideren en el sentit de Riemann.
Demostració. Recordem que, per a la integral de Riemann, si φ és contínua en [a, b],
d
dt
∫ t
a
φ(s) ds = φ(t), t ∈ [a, b].
Aplicant aquest resultat a h(x, t) = ∫ t
a
f(x, s) ds, tindrem
∂h
(x, t) = f(x, t), ∀t ∈ [a, b], ∀x ∈ X.
∂t
□
Carles Batlle i Enric Fossas 2002