Apunts d’Anàlisi Real

3.6 La integral. El Teorema de Convergència Monòtona 53
Demostració. Es trivial que F és una àlgebra de conjunts. Per veure que l és una mesura,
només s’ha de demostrar que l’additivitat numerable es verifica per a unions numerables disjuntes
el resultat de les quals és un element de F. Vegeu els detalls al començament del Capítol 9 de
[Bar95].
□
Si ara apliquem el procediment d’extensió de Carathéodory a ( , F, l) obtindrem un espai
de mesura ( , F ∗ , l ∗ ). F ∗ s’anomena σ-àlgebra dels conjunts mesurables de Lebesgue. No és,
però, la σ-àlgebra més petita que conté F, que és la dels Borelians, B. Les inclusions són, a més,
estrictes, és a dir,
F B F ∗ P( ).
La penúltima inclusió estricta vol dir que hi ha subconjunts de que satisfan la condició
de Carathéodory i que no poden obtenir-se mitjançant les operacions de σ-àlgebra a partir dels
intervals, mentre que la darrera implica que hi ha subconjunts de no mesurables de Lebesgue.
La demostració de l’existència dels darrers no és constructiva, però, i es basa en l’axioma d’ellecció.
La restricció de l ∗ a B s’anomena mesura de Borel o Lebesgue i es denota per λ. Els borelians
s’anomenen també conjunts mesurables de Borel. No es perd massa treballant amb ( , B, λ) en
lloc de ( , F ∗ , l ∗ ), en el sentit que
• qualsevol conjunt mesurable de Lebesgue es pot posar dins un conjunt mesurable de Borel,
amb la mateixa mesura.
• qualsevol funció mesurable de Lebesgue és l ∗ -g.a. igual a una mesurable de Borel.
De fet, la pèrdua principal és la de la completesa:
• F ∗ és completa però B no ho és: hi ha borelians de mesura nul . la que contenen subconjunts
no borelians.
3.6 La integral. El Teorema de Convergència Monòtona
Sigui un espai de mesura fixat, (X, X, µ). Denotarem per M + (X, X) el conjunt de funcions
positives, X-mesurables de X en ∗ :
M + (X, X) = {f ∈ M(X, X) ; f(x) ≥ 0 ∀x ∈ X}.
L’objectiu és definir la integral de qualsevol funció de M + (X, X) respecte a la mesura µ. Per ferho
introduirem el concepte de funció simple, per a les que és convenient demanar que prenguin
valors a enlloc de ∗ .
Definició: Una funció ϕ : X → s’anomena simple si la seva imatge és un conjunt finit.
Una funció simple mesurable es podrà escriure com
ϕ =
n∑
a j £ Ej (3.7)
j=1
on ∀j, a j ∈ , E j ∈ X. Hi ha, però, moltes representacions del tipus (3.7) per a una mateixa
funció simple mesurable.
Carles Batlle i Enric Fossas 2002