Apunts d’Anàlisi Real

3.2 Funcions mesurables 43
Demostració: Com que A α = B α i C α = D α , tenim que (a) és equivalent a (b) i (c) és
equivalent a (d). Sols falta demostrar, per exemple, que (a) i (c) són equivalents. Tenim que
[α,+∞) =
(α,+∞) =
∞⋂
(α − 1 n , +∞)
n=1
∞⋃
[α − 1 n , +∞),
n=1
i com que
f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B)
f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B),
tindrem
C α =
A α =
∞⋂
A α−1/n (3.1)
n=1
∞⋃
A α+1/n . (3.2)
n=1
De (3.2) es veu, emprant (σ1), que si es verifica (c) es verifica (a). D’altra banda, de (3.1),
∞⋂
∞⋃
C α = A α−1/n =
n=1 n=1
A α−1/n
i per tant (a) implica (c).
Exemples de funcions mesurables:
□
1. Qualsevol funció constant f : X −→ és mesurable. Si f(x) = c ∀x ∈ X, tenim
• si α ≥ c, {x ∈ X , f(x) > α} = ∅ ∈ X.
• si α < c, {x ∈ X , f(x) > α} = X ∈ X.
Fixem-nos que això és independent de la σ−àlgebra.
2. Si E ∈ X, llavors £ E és X-mesurable atès que
• si α ≥ 1, {x ∈ X , f(x) > α} = ∅ ∈ X.
• si α ∈ [0, 1), {x ∈ X , f(x) > α} = E ∈ X.
• si α ∈ (−∞, 0), {x ∈ X , f(x) > α} = X ∈ X.
3. Qualsevol funció contínua f : → és B-mesurable. Efectivament, si f és contínua,
llavors f −1 ((α,+∞)) és un obert, i per tant és unió numerable d’intervals oberts, la qual
pertany a B.
4. Qualsevol funció monòtona f : → és B-mesurable. Suposem per exemple que x ≤ y
implica f(x) ≤ f(y). Aleshores f −1 ((α,+∞)) és, per a a depenent de α, un dels següents
conjunts (a,+∞), [a,+∞), ∅ o , els quals són tots borelians. Feu la gràfica de la funció
corresponent a cada cas.
Carles Batlle i Enric Fossas 2002