Apunts d’Anàlisi Real

2.4 Teorema d’aproximació de Weierstrass 29
Si F no és equicontínua, donat ɛ > 0, per a cada δ > 0 existeix una successió {f n }
d’elements de F i punts x, y de K amb |x − y| < δ tals que
|f n (x) − f n (y)| ≥ ɛ.
Si la successió té una parcial convergent, ho serà a una funció f tal que
|f(x) − f(y)| ≥ ɛ
amb |x − y| < δ. Per tant f, si existeix, és no contínua i la convergència no pot ser
uniforme.
□
El teorema que acabem de veure sols tracta de l’existència de parcials uniformement convergents,
però no diu si la funció límit és o no de la família. Afegint que el conjunt de funcions F
sigui tancat tenim, sense més demostració, una altra versió del teorema d’Arzelà-Ascoli:
Teorema 2.10 Sigui K ⊂ compacte i sigui F ⊂ C(K, ). Llavors F és compacte, i.e. de
qualsevol successió d’elements de F s’en pot extreure una parcial uniformement convergent a un
element de F, sii F és tancat, equicontinu i puntualment fitat.
Comentaris:
• El teorema és vàlid si K ⊂ M, amb M qualsevol espai mètric, i considerem C(M, N), amb
N un espai de Banach qualsevol, simplement canviant “puntualment fitat”per “puntualment
compacte”.
• La diferència principal respecte a la caracterització dels compactes a
Borel), és l’exigència d’equicontinuïtat.
n (teorema d’Heine-
2.4 Teorema d’aproximació de Weierstrass
Sigui K = [a, b] i sigui l’espai de Banach C(K,
següent
). L’any 1885 Karl Weierstrass va demostrar el
) i un ɛ > 0 qual-
Teorema 2.11 (Teorema d’aproximació de Weierstrass) Donada f ∈ C(K,
sevol, existeix un polinomi p ∈ [x], que depèn de ɛ, tal que
||f − p|| = sup |f(x) − p(x)| < ɛ.
x∈[a,b]
En altres paraules, donada una funció contínua en un compacte, sempre és possible trobar
un polinomi tal que la distància entre gràfiques sigui arbitràriament petita en el compacte.
De les diverses demostracions d’aquest resultat veurem aquí una deguda a Bernstein, que és
constructiva. Notem primer el següent. La transformació
t = a + (b − a)x
estableix un homeomorfisme de [a, b] en [0, 1], de manera que, si f ∈ C([a, b],
), llavors
g(x) = f(a + (b − a)x)
Carles Batlle i Enric Fossas 2002