Apunts d’Anàlisi Real

More documents

Recommendations

Info

20 Successions i sèries funcionals 6. Sigui f(x) = arctanx ∈ (−π/2, π/2) (branca principal de l’arctangent). Tenim f ′ (x) = 1 x 2 + 1 i la sèrie d’aquesta es pot obtenir de (1.18) canviant x per x 2 : f ′ (x) = ∞∑ (−1) n x 2n , x ∈ (−1, 1). n=0 Integrant entre 0 i x en (−1, 1) obtenim arctanx − arctan(0) = ∞∑ n=0 (−1) n x2n+1 Com que és la branca principal, arctan(0) = 0 i resulta arctan x = ∞∑ n=0 (−1) n x2n+1 , x ∈ (−1, 1). 2n + 1 , x ∈ (−1, 1). (1.21) 2n + 1 Carles Batlle i Enric Fossas 2002
2 Espais de funcions contínues En aquest tema volem desenvolupar dos resultats fonamentals que generalitzen als espais de funcions contínues resultats ben coneguts a . La referència fonamental és [Spr87]; [MH98] també pot ser útil en alguns punts. 2.1 Espais de funcions contínues Començarem recordant les següents propietats de : • Donat un compacte K ⊂ i un subconjunt del mateix amb un nombre infinit d’elements, aquest darrer té un punt d’acumulació en el compacte. Si substituim compacte per fitat el resultat continua sent cert, però pot ser que el punt d’acumulació no sigui del conjunt. Aquest resultat s’utilitza normalment en referència a successions: {a n } ⊂ A fitat ⇒ existeix una successió parcial de (a n ) que és convergent Que hi hagi una successió parcial convergent no vol dir, naturalment, que tota parcial sigui convergent. Si A = K és compacte, el límit de la parcial pertany a K. Exemple. Si K = [0, 1] i tenim {a n } = (0, 1 2 , 1 − 1 2 , 1 3 , 1 − 1 3 , 1 2 , 1 − 1 4 , 1 3 , . . .) (0, 1 − 1 2 , 1 − 1 3 , 1 − 1 4 , . . .) → 1 ∈ K ( 1 2 , 1 2 , . . .) → 1 2 ∈ K ( 1 3 , 1 3 , . . .) → 1 3 ∈ K Exemple. Sigui A = (0, 1), fitat, però no tancat. Com que estem a n podem aplicar el teorema de Heine-Borel i A és no compacte. Tenim que ( 1 2 − 1 n ) convergeix a 1 2 ∈ A, però ) convergeix a 0 /∈ A. ( 1 n Exemple. Sigui A = [1, +∞), no fitat. De (n) ⊂ A no s’en pot extreure cap parcial convergent. • Donat un nombre real qualsevol, existeix una successió de racionals que tendeix cap a ell. Dit en altres paraules, un real es pot aproximar tant com volguem per un racional. Aquí, el “tant com volguem” és en el sentit de la distància donada pel valor absolut. Carles Batlle i Enric Fossas 2002
Page 1 and 2: Apunts d’Anàlisi Real Carles Bat
Page 3 and 4: Índex Presentació iii 1 Successio
Page 5 and 6: Presentació L’obra que presentem
Page 7 and 8: 1 Successions i sèries funcionals
Page 9 and 10: 1.2 Convergència uniforme 3 • el
Page 11 and 12: 1.3 Convergència uniforme i contin
Page 13 and 14: 1.5 Convergència uniforme i deriva
Page 15 and 16: 1.6 Criteris de convergència unifo
Page 17 and 18: 1.7 Una funció contínua no deriva
Page 19 and 20: 1.8 Sèries de potències 13 Per ex
Page 21 and 22: 1.9 Propietats de les funcions defi
Page 23 and 24: 1.10 Sèries de Taylor 17 on b mn (
Page 25: 1.10 Sèries de Taylor 19 on ( α =
Page 29 and 30: 2.1 Espais de funcions contínues 2
Page 31 and 32: 2.2 Equicontinuïtat 25 Proposició
Page 33 and 34: 2.3 Teorema d’Arzelà-Ascoli 27 (
Page 35 and 36: 2.4 Teorema d’aproximació de Wei
Page 37 and 38: 2.4 Teorema d’aproximació de Wei
Page 39 and 40: 2.5 Teorema de Stone-Weierstrass 33
Page 45 and 46: 3 La integral de Lebesgue En aquest
Page 47 and 48: 3.2 Funcions mesurables 41 a trebal
Page 49 and 50: 3.2 Funcions mesurables 43 Demostra
Page 51 and 52: 3.2 Funcions mesurables 45 Corol .
Page 53 and 54: 3.2 Funcions mesurables 47 1. 0 ≤
Page 55 and 56: 3.3 Mesures 49 Proposició 3.8 Sigu
Page 57 and 58: 3.4 La mesura exterior 51 ( ∞ )
Page 59 and 60: 3.6 La integral. El Teorema de Conv
Page 67 and 68: 3.7 Funcions integrables. El Teorem
Page 69 and 70: 3.7 Funcions integrables. El Teorem
Page 71 and 72: 3.9 Integrals depenents de paràmet
Page 73 and 74: 3.10 Espais L p 67 La integral de R
Page 75 and 76: 3.10 Espais L p 69 Si a ≥ 0 i b >
Page 77 and 78:
3.10 Espais L p 71 Exemples. 1. Sig
Page 79 and 80:
4 Sèries de Fourier L’anàlisi d
Page 81 and 82:
4.2 Producte escalar i sistemes ort
Page 83 and 84:
4.2 Producte escalar i sistemes ort
Page 85 and 86:
4.3 Sèrie de Fourier respecte a un
Page 87 and 88:
Page 89 and 90:
Page 91 and 92:
Page 93 and 94:
4.4 Sèries de Fourier trigonomètr
Page 95 and 96:
Page 97 and 98:
Page 99 and 100:
Page 101 and 102:
4.5 El fenomen de Gibbs 95 S’obse
Page 103:
Bibliografia [Apo79] T.M. Apostol.
show all

Apunts d’Anàlisi Real

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?