Apunts d’Anàlisi Real

More documents

Recommendations

Info

96 Sèries de Fourier Donat que 2 és el valor de la discontinuïtat en x = 0 i que 1 és el límit de ɛ(x) per la dreta de zero, veiem que hi ha un “sobrepuig” d’aproximadament el 9% del valor de la discontinuïtat, per a tot N. Exercici. Repetiu tots els càlculs amb f(x) = x, x ∈ (−π, π), estesa 2π-periòdicament. De fet, no cal fer el càlcul per a cada funció discontínua que tinguem, ja que qualsevol discontinuïtat es pot modelar mitjançant la funció signe. Fent una traslació, sempre podem suposar que la discontinuïtat, de magnitud A, està en x = 0. Llavors on θ(x) és la funció de Heaviside f(x) = g(x) + Aθ(x), θ(x) = i està relacionada amb la funció signe mitjançant { 0 x < 0, 1 x > 0, θ(x) = 1 (ɛ(x) + 1). 2 La funció g(x) pot tenir discontinuïtats en altres punts, però és PS i és contínua en x = 0. Per la linealitat dels coeficients de Fourier respecte a la funció, tindrem Com que g és contínua en x = 0, serà S f N (x) = Sg N (x) + A1 2 (Sɛ N(x) + 1). lim N→∞ Sg N (x) = g(x) per x en un entorn de zero, i en particular per a x ∗ = π 2N+2 S f N (x∗ ) = S g N (x∗ ) + A 2 (Sɛ N(x ∗ ) + 1) per a N prou gran. Llavors i lim N→∞ Sf N (x∗ ) = g(x ∗ ) + A ( ∫ 2 π ) siny dy + 1 = 2 π 0 y ( ∫ 1 π = g(x ∗ siny ) + A + A dy − 1 ) ∼ π 0 y 2 ∼ g(x ∗ ) + A + A × 0.0895 = = f(x ∗ ) + 0.0895A. Per tant, per qualsevol N, sempre hi ha punts a la vora de la discontinuïtat a on la suma parcial de la sèrie de Fourier i la funció difereixen en un 9% del valor de la discontinuïtat. Carles Batlle i Enric Fossas 2002
Bibliografia [Apo79] T.M. Apostol. Análisis Matemático. Ed. Reverté, Barcelona, 1979. [Bar95] R. Bartle. The elements of integration and Lebesgue measure. Wiley, 1995. [BMV87] F. Bombal, L.R. Marín i G. Vera. Problemas de análisis matemático, volumen 3. Ed. AC, Madrid, 1987. [Fol92] G.B. Folland. Fourier Analysis and its Applications. Brooks/Cole Publishing, 1992. [Fra99] M.W. Frazier. An introduction to wavelets through linear algebra. Springer-Verlag, 1999. [MH98] J. Marsden i M. Hoffmann. Análisis clásico elemental. Addison-Wesley, 1998. [Spr87] D.A. Sprecher. Elements of real analysis. Dover, 1987. [Sta98] I. Stakgold. Green’s functions and boundary value problems. Wiley, second edition, 1998. Carles Batlle i Enric Fossas 2002
Page 1 and 2:
Apunts d’Anàlisi Real Carles Bat
Page 3 and 4:
Índex Presentació iii 1 Successio
Page 5 and 6:
Presentació L’obra que presentem
Page 7 and 8:
1 Successions i sèries funcionals
Page 9 and 10:
1.2 Convergència uniforme 3 • el
Page 11 and 12:
1.3 Convergència uniforme i contin
Page 13 and 14:
1.5 Convergència uniforme i deriva
Page 15 and 16:
1.6 Criteris de convergència unifo
Page 17 and 18:
1.7 Una funció contínua no deriva
Page 19 and 20:
1.8 Sèries de potències 13 Per ex
Page 21 and 22:
1.9 Propietats de les funcions defi
Page 23 and 24:
1.10 Sèries de Taylor 17 on b mn (
Page 25 and 26:
1.10 Sèries de Taylor 19 on ( α =
Page 27 and 28:
2 Espais de funcions contínues En
Page 29 and 30:
2.1 Espais de funcions contínues 2
Page 31 and 32:
2.2 Equicontinuïtat 25 Proposició
Page 33 and 34:
2.3 Teorema d’Arzelà-Ascoli 27 (
Page 35 and 36:
2.4 Teorema d’aproximació de Wei
Page 37 and 38:
2.4 Teorema d’aproximació de Wei
Page 39 and 40:
2.5 Teorema de Stone-Weierstrass 33
Page 41 and 42:
Page 43 and 44:
Page 45 and 46:
3 La integral de Lebesgue En aquest
Page 47 and 48:
3.2 Funcions mesurables 41 a trebal
Page 49 and 50:
3.2 Funcions mesurables 43 Demostra
Page 51 and 52: 3.2 Funcions mesurables 45 Corol .
Page 53 and 54: 3.2 Funcions mesurables 47 1. 0 ≤
Page 55 and 56: 3.3 Mesures 49 Proposició 3.8 Sigu
Page 57 and 58: 3.4 La mesura exterior 51 ( ∞ )
Page 59 and 60: 3.6 La integral. El Teorema de Conv
Page 67 and 68: 3.7 Funcions integrables. El Teorem
Page 69 and 70: 3.7 Funcions integrables. El Teorem
Page 71 and 72: 3.9 Integrals depenents de paràmet
Page 73 and 74: 3.10 Espais L p 67 La integral de R
Page 75 and 76: 3.10 Espais L p 69 Si a ≥ 0 i b >
Page 77 and 78: 3.10 Espais L p 71 Exemples. 1. Sig
Page 79 and 80: 4 Sèries de Fourier L’anàlisi d
Page 81 and 82: 4.2 Producte escalar i sistemes ort
Page 83 and 84: 4.2 Producte escalar i sistemes ort
Page 85 and 86: 4.3 Sèrie de Fourier respecte a un
Page 93 and 94: 4.4 Sèries de Fourier trigonomètr
Page 101: 4.5 El fenomen de Gibbs 95 S’obse
show all

Apunts d’Anàlisi Real

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?