Apunts d’Anàlisi Real

1.10 Sèries de Taylor 17
on
b mn (x) =
( n
m)
a n c n−m (x − c) m ,
i hem posat b mn (x) = 0 si m > n.
L’ordre de sumació de la sèrie doble ∑ ∞ ∑ ∞
n=0 m=0 b mn(x) es pot intercanviar si la sèrie convergeix
absolutament. Per a cada valor de n tenim
i
∞∑
|b mn (x)| = |a n |
m=0
n∑
m=0
( n
m)
|c| n−m |x − c| m = |a n |(|x − c| + |c|) n
∞∑
|a n |(|x − c| + |c|) n
n=0
convergeix si |x − c| + |c| < R. Per a aquests valors, intercanviem els sumatoris i queda
f(x) =
donat que
=
∞∑
n=0 m=0
n∑
b mn (x) =
∞∑
m=0 n=m
∞∑
b mn (x)
(
∞∑ ∑ ∞ ( )
n
a n
)c n−m (x − c) m =
m
m=0
n=m
f (m) (c) =
∞∑
m=0
∞∑
n(n − 1) · · ·(n − m + 1)a n c n−m = m!
n=m
f (m) (c)
(x − c) m , |x − c| + |c| < R,
m!
∞∑
n=m
( n
m)
a n c n−m
per a c ∈ (−R, R).
□
Comentari: La sèrie de centre c pot tenir radi de convergència més gran que el mínim
R − |c| assegurat pel teorema. Per exemple,
∑
n≥0
x n = 1
1 − x
té radi de convergència 1. Si desplacem la sèrie a c = 1/3, obtenim una sèrie de radi de
convergència 2/3 = 1 − 1/3, però si la posem en c = −1/3 en surt una amb radi 4/3 > 2/3.
Aquest resultat ens permet calcular la sèrie de Taylor, en un punt diferent, d’una funció que
ja sabem que té una sèrie de potències de radi no nul. Si no sabem si f té una representació en
sèrie de potències, el següent resultat pot ser útil:
Teorema 1.22 Si f té derivades de qualsevol ordre en un interval obert (a, b) i existeix una
constant γ tal que
|f (n) (x)| ≤ γ ∀x ∈ (a, b), ∀n
llavors f té sèrie de Taylor de radi no nul al voltant de cada punt c ∈ (a, b).
Demostració: Segons el teorema del polinomi de Taylor
f(x) = f(c) + f ′ (c)(x − c) + · · · + f(n) (c)
(x − c) n + R n (x)
n!
Carles Batlle i Enric Fossas 2002