Apunts d’Anàlisi Real

12 Successions i sèries funcionals
1.8 Sèries de potències
Denotarem les sèries de potències per
∑
a n x n
n≥0
o
∑
a n (x − a) n .
n≥0
Amb un canvi de variable la segona forma es converteix en la primera, i per tant a partir d’ara
sols considerarem sèries de potències centrades en zero.
Proposició 1.13 1. Si ∑ n≥0 a nx n convergeix en x 0 ≠ 0, llavors convergeix absolutament
∀x ∈ amb |x| < |x 0 |. A més, convergeix uniformement en tot [a, b] ⊂ (−|x 0 |, |x 0 |).
2. Si ∑ n≥0 a nx n divergeix en y 0 ∈ llavors divergeix en tot x ∈ amb |x| > |y 0 |.
Demostració:
1. Si ∑ n≥0 a nx n 0 convergeix llavors a nx n 0 → 0 i per tant existeix λ ∈ tal que |a nx n 0 | < λ,
∀n ∈ ¡. Tindrem així
∣
|a n x n | = |a n x n 0 |
x ∣∣∣
n
∣ ∣ < λ
x ∣∣∣
n
x 0
∣x 0
i per tant, si |x| < |x 0 |,
∑
|a n x n | < λ ∑ ∣ x ∣∣∣
n
1
∣ = λ
∣
x 0 n≥0
n≥0 1 − ∣ x ∣∣
.
x 0
Per veure que la convergència és uniforme en [a, b] ⊂ (−|x 0 |, |x 0 |), sigui α ∈ (−|x 0 |, |x 0 |)
amb α > max(|a|, |b|). Com que α < |x 0 |, ∑ |a n |α n convergeix. Llavors, si x ∈ [a, b],
|a n x n | < |a n |α n
i ∑ |a n x n | convergeix uniformement pel criteri de Weierstrass.
2. Si ∑ a n y0 n divergeix, llavors ∑ ∑
a n x n amb |x| > |y 0 | també divergeix, ja que en cas contrari
an y0 n hauria de convergir per la primera part de la Proposició.
□
De la Proposició 1.13 es dedueix que al considerar ∑ a n x n hi ha tres situacions possibles:
1. No hi ha cap x 0 ≠ 0 on la sèrie sigui convergent. La sèrie només convergeix per a x = 0,
per exemple ∑ n!x n o ∑ n n x n .
2. La sèrie convergeix per a tot x ∈ , per exemple ∑ x n /n!.
3. Existeix un R > 0 tal que ∑ a n x n convergeix si |x| < R i divergeix si |x| > R. Aquest R
s’anomena radi de convergència de la sèrie de potències. Per exemple
∑
x
n
té radi de convergència R = 1,
∑ x
n
3 n+1 té radi de convergència R = 3,
∑
(−1)
n xn
té radi de convergència R = 1.
n + 2
Carles Batlle i Enric Fossas 2002